精品解析：福建省三明市沙县区三明北附高级中学有限公司2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

三明北附2025—2026学年高一上学期第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，有. 故选：B 3. “”是"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，； 当时，可能为； 所以“”是"的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据基本不等式求解. 【详解】由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理直接判断. 【详解】由已知可知在R上单调递增， ， ， ， ， ， 所以， 所以的零点所在区间为， 故选：C. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，排除法选出答案. 【详解】，由指数函数的性质可知，对于恒成立， 则的定义域为，关于原点对称， 又，则是偶函数，排除AC， 当时，，此时，排除B. 故选：D 8. 已知,在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件可得为上的减函数，故可得关于参数的不等式组，据此可求参数的取值范围. 【详解】因为，故为上的减函数， 故，故， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，，， ， 所以，与角终边相同的角是、. 故选：AC. 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，将两边平方可求得；由A选项结合正弦函数的符号先判断出C，得到，，结合，的关系先求出D选项，然后结合题设条件算出分别的取值，然后判断B选项. 【详解】A选项，两边同时平方可得，， 即，则，A选项正确； C选项，由于，则， 又，则，则，C选项正确； D选项，，即， 结合上面分析可知，，，则， 于是，D选项正确； B选项，结合D选项， 联立可得， 则，B选项错误. 故选：ACD 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若的定义域为，则 C. 若，则的单调增区间为 D. 若在上单调递减，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据奇偶函数的定义判断；B选项，根据对数函数的定义域可推知对于恒成立转化为二次不等式恒成立问题；CD选项利用对数复合型函数求解. 【详解】A选项，若，，定义域为：关于原点对称， ，则为偶函数，A选项正确； B选项，若的定义域为，则对于恒成立， 则，解得，B选项正确； C选项，若，， 令，解得或， 根据复合函数的单调性可知，的单调增区间为，C选项错误； D选项，根据复合函数的单调性可知，若在上单调递减， 则且， 解得，D选项正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义列出不等式组，求解即可. 【详解】函数有意义则需满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知角α终边上一点P（-3，4），则sinα＝____ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】解：已知角a的终边经过点， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型. 14. 已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围. 【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示： 方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，可得，然后求并集交集即可； （2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，， 因为，所以；； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 16. （1）已知在第四象限，求，的值； （2）已知，求下列式子的值：①；②. 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据象限角的符号和同角三角函数的关系求解； （2）利用齐次化的处理方法求解. 【详解】（1）由于在第四象限，则， 于是，； （2）， . 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义法证明在上为增函数； 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）函数是定义域为上的奇函数则，即可求出的值，再验证其奇偶性即可； （2）根据函数单调性的定义进行证明，即任取、作差 、通分、分解因式可判断，从而可得结论. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，得到， 验证当时，， ， 满足奇函数定义，故. 【小问2详解】 证明：由（1）的结论得到， 设任意且,则 ， 因为，所以，即， 又因为，所以， 因此，即， 所以在上为增函数. 18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型（不需要证明），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】（1）选，表达式为 （2）国道上行驶，高速上行驶，最少耗电量 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域，指数函数的单调性可以排除，由待定系数法求出表达式； （2）分别列出国道上和高速上的用电量表达式，利用二次函数和基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由于可以取，不符合对数函数的定义域，排除； 注意到关于是递增的，根据指数函数的单调性，是减函数，也不成立， 故符合的函数模型是， 由，整理可得，解得， ，经检验也成立， 则 【小问2详解】 在国道上所需时间是，设用电量为， 则，当，用电量最小为； 在高速上所需时间是，设用电量， 则， 当，用电量最小为. 故国道上行驶，高速上行驶，总耗电量最小，共 19. 已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）证明函数为上的减函数； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 证明：，且， 有已知得， 由知，所以， 则，即， 故函数为上的减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可得解； （2）利用定义法可证明函数的单调性； （3）根据函数的单调性直接解不等式即可. 【小问1详解】 令，，所以，即， 令，，所以， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 有已知得， 故原不等式可等价于，而函数为上的减函数，所以恒成立， 又，所以恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 20. 已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）证明函数是奇函数； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，可求出和的值； （2）利用奇函数的定义证明； （3）先根据函数单调性的定义证明其是减函数，然后结合单调性推出，转化成，然后求不等式右边最小值即可. 【小问1详解】 取可知，，则； 取，则 【小问2详解】 取，则， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则是奇函数 【小问3详解】 先证明函数是减函数，， ， 由题知时，，则，则， 故在上单调递减， ，结合， 则， 即，于是， 由，则， 不等式转化为， 而，当取得等号， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明北附2025—2026学年高一上学期第二次月考 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 3. “”是"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 10 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知,在满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若的定义域为，则 C. 若，则的单调增区间为 D. 若在上单调递减，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知角α终边上一点P（-3，4），则sinα＝____ 14. 已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知在第四象限，求，的值； （2）已知，求下列式子的值：①；②. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义法证明在上为增函数； 18. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 10 40 60 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型（不需要证明），并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 19. 已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）证明函数为上的减函数； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）证明函数是奇函数； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $