精品解析：湖南湘潭市2025--2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷 

2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，24道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如或（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子中是的反比例函数， 故选：B． 2. 一元二次方程化为一般式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式为，移项，将方程化为一般式即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 即一般式为， 故选B． 3. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将拆分为，然后代入已知条件计算，由此求解即可． 【详解】解：，且， ． 故选：B． 4. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 移项得． 配方：， 即． ∴ 比较 ，得：； 故选B． 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 为有效降低学生近视的发生率，需了解学生的视力情况．现某市随机抽取400名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市26000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ） 视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 32 46 82 66 80 94 A. 174 B. 240 C. 11310 D. 15600 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体．求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘26000即可求出结论． 【详解】解：， ∴视力不低于4.8的人数是15600， 故选：D． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则和的面积比是（ ） A. 2∶3 B. 1∶2 C. D. 1∶4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 先根据和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ∴与的面积比是， 故选：C． 8. 点是反比例函数图象上的三个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，先由反比例函数可知，当时，当时 ；比较和时，利用负数大小比较性质． 【详解】解：∵， ∴对于点：， 对于点：， 对于点：， ∴，，，故最大； 又∵，， ∴， ∴，即， 综上，． 故选：C． 9. 如图是小明做的一个风筝支架示意图，已知，，，则的长是( ). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得出△ABC∽△ADE，利用相似三角形的判定与性质得出，进而求出DE的长． 【详解】∵， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵AB：BD=3：5，BC=30cm， ∴， 解得：DE=80cm，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，E、F分别在边上，且，连接相交于点．则下列结论：①；②；③；④当为中点时，连接，则，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． ①由“”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，由面积和差关系可得； ③通过证明，可得，可得结论； ④设，利用相似三角形的性质得到，则，即可证明④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵， ， ∴；故②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∵为中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④． 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应的位置上．） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入函数解析式即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 13. 某校甲、乙两个篮球队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差，乙队队员身高的方差，那么两队中队员身高更整齐的是_______队．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差越小，数据越稳定进行判断即可． 【详解】解：∵32.2＞21.5， ∴， ∴身高更整齐的是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查方差，解答的关键是熟知方差是判断一组数据的波动程度，方差越小，数据越稳定． 14. 近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据月平均增长率的定义，从7月到9月，销售量连续增长两次，每次增长率为x，因此9月销售量是万台，据此列方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则8月销售量为万台，9月销售量为万台． 根据题意，9月销售量为36万台， ∴． 故答案为：． 15. 在设计某河流的防洪堤坝中，工程师需要计算该河堤横断面的尺寸．如图所示，堤坝的垂直高度为2米，迎水坡的坡度为，则迎水坡的长是__________米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度的概念． 根据迎水坡的坡度为，可得，得到，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∵堤坝的垂直高度为2米，迎水坡的坡度为， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，过点M、N作直线交于点，交于点，再连接．则__________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是关键．根据等腰三角形的判定与性质，求得，即可证明，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 由作图可知，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， （舍去）， ． 故答案为：． 三．解答题（本大题8个小题，共72分．17、18题各6分；19、20题各8分；21、22题各10分；23、24题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行计算，再进行加减法即可． 【详解】解： 18. 某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． （1）求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 【答案】（1） （2）每小时平均排水量是． 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可． 【小问1详解】 解：依题意可设， 当排水总时间为时，每小时平均排水量为，则有 【小问2详解】 当时 答：每小时平均排水量是 19. 如图，我市郊外一条笔直的公路l恰好经过盘龙大观园、昭山两个景点．为丰富乡村旅游资源，推进美丽乡村建设，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量，景点分别位于景点的北偏东、景点的北偏东方向上，盘龙大观园、昭山两个景点的距离为． （1）求、两景点间的距离； （2）为了方便游客到景点游玩，景区管委会准备由公路向景点修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（参考数据：，结果精确到） 【答案】（1）景点、相距的路程为 （2）这条最短公路的长约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）根据题意求得，由三角形内角和可得，从而推出，即可得到； （2）过点作于点，由题意得，在中利用即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ，即景点、相距的路程为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ，位于的北偏东的方向上， ， 在中， ， ∴这条最短公路的长约为． 20. 2025赛季湘超联赛中，角球战术是重要的得分手段．某校九年级学习小组随机抽取了该赛季若干场比赛，统计了每场比赛通过角球战术取得的进球数，并根据进球数将比赛分为四个等级：（0球）、（1球）、（2球）、（3球），绘制了如下扇形统计图和条形统计图． 请你根据以上信息，完成下列问题： （1）随机抽取了__________场比赛；条形统计图中__________． （2）在扇形统计图中，等级所对应的扇形圆心角的度数为__________． （3）2025赛季湘超联赛共进行了98场比赛，请估计所有比赛中通过角球战术取得的总进球数有多少个（结果保留整数）． 【答案】（1）40；7 （2） （3）估计所有比赛中通过角球战术取得的总进球数约有34个 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以所占的百分比即可求出抽取的场次，再用总的场次减去已知场次即可求出； （2）用乘以B等级所占的百分比即可； （3）根据总体估计样本的方法计算即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体的方法． 【小问1详解】 解：共抽取的比赛场次为：（场）． ， 故答案为：40；7； 【小问2详解】 解：扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数是． 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意可得， ． 答：估计所有比赛中通过角球战术取得的总进球数有个． 21. 如图，已知点、在线段上，且是等边三角形，． （1）求与的度数和． （2）求证：． （3）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角性质，利用相似三角形转化角与边是解题关键． （1）利用等边三角形的性质，三角形外角的性质和相似三角形的对应角相等，推出与的和； （2）根据相似三角形的对应边成比例，结合等边三角形三边相等的性质，推导出； （3）先求出等边三角形的高，再结合角度关系求出、的长度，进而算出，最后代入面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ． 答：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点， 则， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ． 答：． 22. 如图1，在四边形中，．点在线段的延长线上，且，连接交于点、交于点． （1）求证： （2）设，求的值． （3）如图2，若（），求的长（用含的代数式表示） 【答案】（1） 证明：， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2） ． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得，由，得由三角形外角性质即得； （2）由，得，得．证明，得，可得，证明，得，得，即得． （3）方法1：可得，得，得，即得；方法2：可得，得，可得，得E为黄金分割点，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∴， ． 由（1）知，， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ． 【小问3详解】 方法1：如图2 ∵， ∴， ， 又，， ∴， ， 即， （舍）， ； 方法2：， ∴， ， 又， ， 为黄金分割点， ， ， 故． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，黄金分割定义，是解题的关键． 23. 阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 【答案】（1）②③ （2）①方程②的根为， ；方程③的根为 ；② （3） 或， 理由： 是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． （1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； 【小问3详解】 略 24. 在数学中，我们可以利用距离公式来计算两点间的距离．对于平面上的两点和，、两点间的距离公式可以表示为：． （1）利用距离公式计算和两点之间的距离． （2）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点．（，，为常数）． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②点为轴上一动点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求点的坐标； ③在②的条件下，当时，连接并延长交双曲线于点，若为轴上一动点，是否存在与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，；②点的坐标为或；③存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查两点间距离公式，一次函数与反比例函数的解析式求解，直角三角形存在性判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）直接代入两点间距离公式，计算和的距离； （2）①代入点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式；②用距离公式表示三边长度的平方，分三种直角情况结合勾股定理列方程求解，得到点的坐标；③先求出直线的解析式和点的坐标，再利用相似三角形的比例关系建立方程，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：已知和， 则两点之间的距离为． 答：． 【小问2详解】 解：①和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两交点， 把代入，则， 反比例函数解析式为， 点坐标为， 把和代入中， 可得， 解得， 一次函数解析式为． 答：，． ②，，， ∴由距离公式得，， ，， 当为直角三角形，分三种情况讨论： 若时，则， 可得，，， ∴方程无实数解， ； 若时，则， 可得， 解得； 若时，则， 可得， 解得． ∴当为直角三角形时，点的坐标为或． 答：点的坐标为或． ③存在，点的坐标为或，理由如下： ， ，点坐标为， 设直线表达式为，代入，， 解得，， ∴直线表达式为， 直线与双曲线交于点， 可得， 解得， ∴点坐标为， ，， 设，， 当时，有， ， ， ，， ，， 故当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：120分 考生注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共三道大题，24道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般式为（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 为有效降低学生近视的发生率，需了解学生的视力情况．现某市随机抽取400名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市26000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ） 视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 32 46 82 66 80 94 A. 174 B. 240 C. 11310 D. 15600 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则和的面积比是（ ） A. 2∶3 B. 1∶2 C. D. 1∶4 8. 点是反比例函数图象上的三个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是小明做的一个风筝支架示意图，已知，，，则的长是( ). A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E、F分别在边上，且，连接相交于点．则下列结论：①；②；③；④当为中点时，连接，则，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应的位置上．） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 13. 某校甲、乙两个篮球队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差，乙队队员身高的方差，那么两队中队员身高更整齐的是_______队．（填“甲”或“乙”） 14. 近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 15. 在设计某河流的防洪堤坝中，工程师需要计算该河堤横断面的尺寸．如图所示，堤坝的垂直高度为2米，迎水坡的坡度为，则迎水坡的长是__________米． 16. 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，过点M、N作直线交于点，交于点，再连接．则__________（结果保留根号）． 三．解答题（本大题8个小题，共72分．17、18题各6分；19、20题各8分；21、22题各10分；23、24题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为时，每小时平均排水量为． （1）求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？ 19. 如图，我市郊外一条笔直的公路l恰好经过盘龙大观园、昭山两个景点．为丰富乡村旅游资源，推进美丽乡村建设，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量，景点分别位于景点的北偏东、景点的北偏东方向上，盘龙大观园、昭山两个景点的距离为． （1）求、两景点间的距离； （2）为了方便游客到景点游玩，景区管委会准备由公路向景点修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（参考数据：，结果精确到） 20. 2025赛季湘超联赛中，角球战术是重要的得分手段．某校九年级学习小组随机抽取了该赛季若干场比赛，统计了每场比赛通过角球战术取得的进球数，并根据进球数将比赛分为四个等级：（0球）、（1球）、（2球）、（3球），绘制了如下扇形统计图和条形统计图． 请你根据以上信息，完成下列问题： （1）随机抽取了__________场比赛；条形统计图中__________． （2）在扇形统计图中，等级所对应的扇形圆心角的度数为__________． （3）2025赛季湘超联赛共进行了98场比赛，请估计所有比赛中通过角球战术取得的总进球数有多少个（结果保留整数）． 21. 如图，已知点、在线段上，且是等边三角形，． （1）求与的度数和． （2）求证：． （3）若，，求的面积． 22. 如图1，在四边形中，．点在线段的延长线上，且，连接交于点、交于点． （1）求证： （2）设，求的值． （3）如图2，若（），求的长（用含的代数式表示） 23. 阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 24. 在数学中，我们可以利用距离公式来计算两点间的距离．对于平面上的两点和，、两点间的距离公式可以表示为：． （1）利用距离公式计算和两点之间的距离． （2）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点．（，，为常数）． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②点为轴上一动点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求点的坐标； ③在②的条件下，当时，连接并延长交双曲线于点，若为轴上一动点，是否存在与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $