1.2.1 等边三角形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2.1《等边三角形的性质与判定》 一、单选题 1．如图，在等边∆ABC中，点是边的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，等边∆ABC的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在∆ABC中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在∆ABC中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 5．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边∆ABC和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．如图，是等边三角形，D为的中点，于E，若，则的边长为 ． 7．已知、、 为∆ABC的三边长，、 满足，且a为方程的解，则∆ABC的形状为 三角形． 8．如图，∆ABC是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为 ． 9．如图，在∆ABC中，，点D是边上一点，过点D分别作，交于点E，交于点F，若，则 ． 10．如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ． 三、解答题 11．如图，在等边∆ABC中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 12．如图，在∆ABC中，，，点是∆ABC外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 13．如图， 在∆ABC中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． (1)求的长； (2)若，求证：． 14．如图，在等边∆ABC中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．分别连接，，设运动时间为秒． (1)当平分时，求的值． (2)当时，求的值． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 15．如图，∆ABC是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当∆BDE是等腰三角形时，求出的度数； (2)求证：△ABE≌△CBF； (3)当∆CDF是等腰三角形时，求出的度数． 16．已知，∆ABC是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方． (1)当点E在边上运动时， ①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为 °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系： ； ②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：； (2)当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值． 参考答案 一、单选题 1．A 解：在等边∆ABC中，点是边的中点， ∴，平分， ∴； 故选：A． 2．B 解：∵∆ABC是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 3．C 解：∵， ∴∆ABC是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 4．A 解：如图，取中点E，连接． ∵，，， ∴，， ∵∆BPQ是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴线段长的最小值是2． 故选：A 5．B 解：∆ABC和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 二、填空题 6．4 解：∵∆ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， ∵为的中点， ∴． 故答案为：4． 7．等边 解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为∆ABC的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴∆ABC是等边三角形． 故答案为：等边． 8．7 解：∵∆ABC是等边三角形， ∴、， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 9．6 解：， ． ， ． 是含角直角三角形． ． ． ， ． 是等边三角形． ． 故答案为：6． 10．或 解：当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 当时， 如图 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或． 三、解答题 11．（1）解：△是等边三角形， ， ， ， ， △是直角三角形， 在中，， （2）解：，， △是等边三角形， ， 在中，， ． 12．（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 13．（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 在∆BDE和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即． 14．（1）解：如图①，是等边三角形， ， 平分， ， 由题意得，， ， 解得， 即的值为； （2）解：如图②，是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 解得， 即的值为2； （3）解：由题意得，在中，， ∴直角只能是或，分两种情况： 当时：， ∴， ∵，， ∴， 解得， 当时：， ∴， ∵，， ∴， 解得， 综上所述，x的值为或3． 15．（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和∆CBF中， ； （3）解：的大小为或或； 理由如下： 当∆CDF是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 16．（1）解：如图1所示： 是等边三角形， ，． ． ，且点F在直线的上方，的度数为，， ． ． 线段和的数量关系是：，理由如下： ， ． 在中，，的度数为， ． ． 在和中， ． ． 故答案为：；； 证明：过点F作交的延长线于点M，连接，如图2所示： 是等边三角形，点E为边上的中点时，，， 即． 由可知：． ． 在和中， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． 即； （2）解：， ∴设，， ， ∵点E在射线上运动， ∴有以下两种情况： 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，如图3①所示： 设，则， 同（1）证明：，， ，． ， ． 解得：， ． ． ②当点E在的延长线时，过点F作交于点H，如图3②所示： ． ． ， ． ，， ． 在中，， ． 在和中， ． ，． ． 在和中， ． ． ． ． 综上所述：的值为或5． 学科网（北京）股份有限公司 $