23.4　实际问题与一次函数 教学设计 2025-2026学年度人教版数学八年级下册

23.4　实际问题与一次函数 素养目标 1.会把实际问题转化为一次函数问题. 2.了解分段函数的表示及其图象. 3.能初步应用一次函数模型解决现实生活中的问题，体会一次函数的应用价值. 教学重难点 重点：会把实际问题转化为一次函数问题. 难点：了解分段函数的表示及其图象，能从不同的角度思考问题并解决问题. 教学过程 新课导入 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而逐渐减少，干旱持续时间t（单位：天）与蓄水量V（单位：万立方米）的关系如图所示. （1）该水库干旱前的蓄水量是多少？ （2）若干旱持续10天，则蓄水量是多少？若干旱持续23天呢？ （1）干旱前的蓄水量 干旱前对应的时间t=0，也就是图像与纵轴的交点。 从图中可以看出，当 t=0时，蓄水量V=1200万立方米。 （2）干旱持续 10 天和 23 天的蓄水量 干旱持续 10 天： 图中对应点 (10,1000)，因此蓄水量为 1000 万立方米。 干旱持续 23天图中对应点(23,750)，因此蓄水量为 750 万立方米。 探究新知 探究点一　分段函数 【例1】电力公司为鼓励市民节约用电，采取用电量按月分段收费的办法.若某户居民每月应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y关于x的函数解析式. （2）若该用户某月用电62kW·h，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少电？ 【解析】（1）当0≤x≤100时，设出正比例函数y＝kx；当x≥100时，设出一次函数y＝ax＋b.将坐标点代入即可求出函数解析式；（2）代入x＝62可得y的值，代入y＝105可得x的值. 【解】（1）当0≤x≤100时， 设y＝kx，则有65＝100k，解得k＝0.65， ∴y＝0.65x. 当x＞100时，设y＝ax＋b，则 解得 ∴y＝0.8x－15. （2）当x＝62时，y＝40.3； 当y＝105时，105＝0.8x－15， 解得x＝150. 答：若该用户某月用电62kW·h，则应缴费40.3元.若该用户某月缴费105元，则该用户该月用电150kW·h. 【方法总结】分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量取值范围的变化.分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用.本题考查一次函数及识图能力，体现了数形结合思想.解决问题的关键是从图象中挖掘出有用的信息，利用待定系数法先求出函数解析式，再解决问题. 探究点二　选择方案　 【例2】自开展读书宣传活动以来，某书店图书出租生意非常火爆，为此开设了两种租书方式.方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元.小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本，每月应付的租书金额为y元. （1）分别写出两种租书方式下，y关于x的函数解析式. （2）若小彬某个月要为班级租25本书，选用哪种租书方式合算？ 【解析】（1）根据题意，可以分别写出方式一和方式二的y关于x的函数解析式；（2）将x＝25代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的花费情况，然后比较大小，即可解答本题. 【解】（1）方式一：y＝x. 方式二：y＝12＋0.4x. （2）当x＝25时， 方式一的租书金额为25元， 方式二的租书金额为12＋0.4×25＝22（元）. ∵25＞22， ∴选择方式二租书方式合算. 【方法总结】根据题意列出一次函数解析式，再把对应的自变量x代入计算，比较哪种方式合算. 探究点三　租车　 【例3】某学校开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，为了安全既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师.若每名老师带17名学生，还剩12名学生没人带；若每名老师带18名学生，就有1名老师少带4名学生.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 　　（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少名？ （2）设租用两种客车共8辆，其中甲种客车a辆，租车总费用为W元.请求出W关于a的函数解析式（不要求写出a的取值范围）. （3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，且保证所有师生都有座位.有哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？ 【解析】（1）设老师有x名，学生有y名，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由租用甲种客车a辆，得租用乙种客车（8－a）辆，再得出W＝300a＋400（8－a）即可； （3）根据“租车总费用不超过3100元”和“既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师”，即可得出关于x的一元一次不等式组，求出a的取值范围，分析即可. 【解】（1）设老师有x名，学生有y名. 依题意，得 解得 答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名. （2）由题意，得W＝300a＋400（8－a）＝3200－100a. （3）由题意，得 解得1≤a≤3（a为整数）， ∴共有3种租车方案，如下： 方案一：租用甲种客车3辆、乙种客车5辆，租车费用为2900元； 方案二：租用甲种客车2辆、乙种客车6辆，租车费用为3000元； 方案三：租用甲种客车1辆、乙种客车7辆，租车费用为3100元. 故最省钱的租车方案是租用甲种客车3辆、乙种客车5辆. 【方法总结】解一元一次不等式组结合一次函数的实际应用，解题的关键：（1）根据数量关系列出不等式（组）；（2）找出y关于x的函数解析式，根据一次函数的变化规律，判断出最值. 探究点四　一次函数的其他实际应用 【例4】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗.每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍. （1）这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？最低费用是多少？ 【解析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）由（1）可分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，购进这批树苗的费用为w元.根据题意求出w关于t的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可. 【解】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元. 根据题意，得－＝10， 解得x＝20. 经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意. 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元. （2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为20×1.2＝24（元）. 设购进A种树苗t棵，购进这批树苗的费用为w元，则 w＝18t＋24（5500－t）＝－6t＋132000. ∵w是关于t的一次函数，k＝－6＜0， ∴w随t的增大而减小. 又∵t≤3500， ∴当t＝3500时，w最小， 此时，B种树苗有5500－3500＝2000（棵），w＝－6×3500＋132000＝111000. 答：应购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵，最低费用是111000元. 【方法总结】一次函数的实际应用，先读懂题意，分清数据之间的关系，把实际问题转化为一次函数问题. 课堂训练 1.如图所示，购买某种苹果，所付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3kg这种苹果比分三次每次购买1kg这种苹果可节省（　　） A.3元 B.4元 C.5元 D.6元 2.某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元. （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ （2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，则应该如何购买甲、乙两种奖品，才能使总花费最少？最少为多少元？ 板书设计 23.4　实际问题与一次函数 1.一次函数的实际应用，如方案选择问题、租车问题等. 2.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了一次函数的实际应用，一次函数的实际应用常与二元一次方程组和一元一次不等式相结合，理解了一次函数图象的意义，会根据图象列出一次函数解析式. 教学反思 　　本节课通过实际问题，列出一次函数解析式，通过具体数据的分析，解决实际问题.当函数中含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取的值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数. 由于题目比较难，学生自主很难完成，教师可以通过讲解来完成. 　　答案 课堂训练 1.B 2.解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30－x）件. 根据题意，得30x＋20（30－x）＝800， 解得x＝20，则30－x＝10. 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件. （2）设甲种奖品购买了t件，乙种奖品购买了（30－t）件，购买两种奖品的总花费为w元. 根据题意，得30－t≤3t， 解得t≥7.5. w＝30t＋20（30－t）＝10t＋600. ∵10＞0， ∴w随t的增大而增大， ∴当t＝8时，w有最小值，最小值为w＝10×8＋600＝680，30－t＝22. 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最少，最少为680元. 学科网（北京）股份有限公司 $