7.2.3 平行线的性质 导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案围绕“平行线的性质”展开，通过“判定反过来”的问题导入，衔接平行线判定与性质的逻辑关系，引导学生经历度量探究、猜想验证，掌握同位角、内错角、同旁内角的性质及综合运用。 资料以探究式学习为主线，通过动手度量培养直观想象，逻辑推导发展推理能力，结合拐点、尺子、翻折等实际问题强化应用意识，变式训练与达标检测分层设计，助力学生深化理解并提升数学思维。

姓名: 学科: 日期: 7.2.3平行线的性质（2课时）（解析版） （ 制 作：许 鸥 日 期：2026年1月31日 第2周 ） 【学习目标】 1、 经历问题探究，理解与掌握平行线的性质，并能灵活运用其求解相关的实际问题（尺子问题、翻折问题、拐点问题等）.（直观想象、逻辑推理、数学运算•重难点） 2、 经历问题探究，理解与掌握平行线的判定与性质的综合运用，体会平行线的判定与性质的区别与联系.（直观想象、逻辑推理、数学运算•难点） 【学习过程】 1、 问题导入 利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行. 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?这就是下面要学习的平行线的性质. 二、平行线的性质1 （一）问题探究 如图，画两条平行线，然后任意画一条截线与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数. 角 度数 在中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？ 探究：同位角为∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，且它们的度数相等. 由此可猜想得出——两条平行线被第三条直线所截得的同位角相等. 思考：如果两直线不平行，上述猜想还成立吗？ 答：如图，直线与被直线所截，如果直线与不平行，那么所构成的同位角不相等. （二）平行线的性质1 由上探究可得: 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 用数学语言表述为 ∵， ∴.（两直线平行，同位角相等） （3） 练一练 如图，直线，直线与相交.若，则的度数为______. 解析： ∵， ∴.（两直线平行，同位角相等） 又由图知（邻补角互补） ∴ （四）实例运用 例1如图，直线a，b被直线c所截，若，，求的度数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 先根据平角的概念求出，再由两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【详解】解：如图， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【变式训练】如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.65 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 三、平行线的性质2 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ （一）问题探究 如图，已知 ，那么与相等吗？为什么？ 探究： ∵ (已知) ∴.(两直线平行，同位角相等) 又∵ (对顶角相等) ∴(等量代换) （二）平行线的性质2 由上探究可得: 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 用数学语言表述为 ∵， ∴.（两直线平行，内错角相等） （三）练一练 如图，平行线被直线所截，平分.若，则的度数是_____. 解析： ∵平分, ∴, 又∵， ∴.（两直线平行，内错角相等） （四）实例运用 例2如图，，AD平分，，求的度数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴. 【变式训练】如图，已知分别平分与． 求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，再由平行线的性质可得，则． 【详解】证明：∵分别平分与， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 四、平行线的性质3 （一）问题探究 如图，已知 ，那么与有什么关系？为什么？ 探究： ∵ (已知) ∴.(两直线平行，同位角相等) 又∵ (邻补角互补) ∴(等量代换) （二）平行线的性质3 由上探究可得: 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 用数学语言表述为 ∵， ∴.（两直线平行，同旁内角互补） （三）练一练 如图， ，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由，得，从而求出，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． （四）实例运用 例3如图，已知直线，，求、的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， 又（   ）， （   ）（   ）． ， （    ）（   ）， （   ）（等式的性质）． 【答案】已知；对顶角相等；；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； 【难度】0.65 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据推理过程利用平行线的性质填空即可． 【详解】解：（已知）， 又（对顶角相等）， （）（等量代换）． ， （）（两直线平行，同旁内角互补）， （）（等式的性质）． 故答案为：已知；对顶角相等；；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；49． 【变式训练】如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：∵四边形是梯形， ∴, ∴, ， 又∵， ∴, . 答：梯形的另外两个角∠D，∠C分别是80°，65°. 五、平行线的判定与性质的综合运用 （一）平行线的判定与性质小结 1.平行线的判定 文字简述 符号语言 图示 方法1：同位角相等，两直线平行. ∵ ， ∴. 方法2：内错角相等，两直线平行. ∵ ， ∴. 方法3：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ， ∴. 方法4：平行于同一条直线的两条直线平行. ∵， ∴. 方法5：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. ∵， ∴. 2. 平行线的性质 文字简述 符号语言 图示 两直线平行，同位角相等. ∵ ， ∴ . 两直线平行，内错角相等. ∵， ∴. 两直线平行，同旁内角互补 ∵， ∴. （二）平行线的判定与性质的综合运用 1.先性质再判定 例4 如图，已知直线，那么直线与平行吗？为什么？ 解： 直线与平行，理由如下： ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）. 又∵（已知）， ∴（等量代换）. ∴（同位角相等，两直线平行）. 思考：你还有其他的解题方法吗？能不能分享一下你的解题思路. 2.先判定再性质 例5 如图，等于多少度？ 解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等式基本事实）. 6、 与平行线有关的三类问题 （一）拐点问题：拐点问题的做题技巧是过拐点作已知直线的平行线，并利用平行线的传递性得出题设的三条直线相互平行，从而解决问题. 例6如图，，点在与之间，，，求的度数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，求大腿与小腿的夹角的度数. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． （二）尺子问题：做题技巧是已知学生用尺，则尺子的形状、度数可直接使用，题目不做说明. 例7如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，求的度数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 【变式训练】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，求的度数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的性质，由平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴. （4） 折叠问题：折叠问题的做题技巧是折叠前后的对应边相等，对应角相等. 例8如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，求的度数. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠性质平分角度，再在直角三角形中计算角度是解题的关键． 由折叠性质得到，再由得到，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据折叠性质即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得： ， ∴， ， 又， 由折叠可知，， 故答案为：． 7、 达标检测 1．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，根据“两直线平行同旁内角互补”得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 3．（2025—2026学年第一学期学业水平监测九年级数学试题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，是南北方向，则， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 7．（25-26八年级上·北京通州·期末）含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 先根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，再根据三角形内角和定理求出，即可求出，接下来求出，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意可知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 8．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的补角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 根据，得出，从而求出． 【详解】解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线，，求、的度数．抄写下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____________） ∴（_____________） ∵（_____________），（已知） ∴（   ）（等量代换）． 又∵， ∴（   ）（等式的性质）． 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；； 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得，再结合题意得出，再根据邻补角的定义计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等），（已知） ∴（等量代换）． 又∵， ∴（等式的性质）． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知直线，，求、的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， 又（   ）， （   ）（   ）． ， （    ）（   ）， （   ）（等式的性质）． 【答案】已知；对顶角相等；；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补； 【难度】0.65 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据推理过程利用平行线的性质填空即可． 【详解】解：（已知）， 又（对顶角相等）， （）（等量代换）． ， （）（两直线平行，同旁内角互补）， （）（等式的性质）． 故答案为：已知；对顶角相等；；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；49． 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得 ，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得 ， ， ． 14．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 【答案】（1） （2）当等于或时，． （3），或． 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）依据，，可得；依据，即可得到； （2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； （3）根据，，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：（1）；． 【提示】，， ； ， ， ． （2）分两种情况： ①如图①，当时，， ； ②如图②，当时，， ． 综上所述，当等于或时，． （3）设，则． 由（1）可知，， ， ，即． ， 此时或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题： (1)当三角板按如图①的方式摆放时，若，求证：； (2)当三角板按如图②的方式摆放时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、直角三角形的性质． （1）根据直角三角形的性质可以求出，又因为可以求出，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； （2）根据两直线平行，内错角相等可知，再根据角之间的关系求出的度数． 【详解】（1）证明： ，， ，     又 ， 又 ， ； （2）解： ， 又∵，， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【难度】0.4 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等、垂线的定义理解、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 八、课堂小结：今天我们都学习了哪些内容？ 1、经历问题探究，理解与掌握了平行线的性质，并能灵活运用其求解相关的实际问题（尺子问题、翻折问题、拐点问题等）. 2、经历问题探究，理解与掌握了平行线的判定与性质的综合运用，体会平行线的判定与性质的区别与联系. - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 7.2.3平行线的性质（2课时）（解析版） （ 制 作：许 鸥 日 期：2026年1月31日 第2周 ） 【学习目标】 1、 经历问题探究，理解与掌握平行线的性质，并能灵活运用其求解相关的实际问题（尺子问题、翻折问题、拐点问题等）.（直观想象、逻辑推理、数学运算•重难点） 2、 经历问题探究，理解与掌握平行线的判定与性质的综合运用，体会平行线的判定与性质的区别与联系.（直观想象、逻辑推理、数学运算•难点） 【学习过程】 1、 问题导入 利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行. 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?这就是下面要学习的平行线的性质. 二、平行线的性质1 （一）问题探究 如图，画两条平行线，然后任意画一条截线与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数. 角 度数 在中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？ 探究：同位角为 ，且它们的度数 . 由此可猜想得出——两条 被第三条直线所截得的同位角 . 思考：如果两直线不平行，上述猜想还成立吗？ 答：如图，直线与被直线所截，如果直线与不平行，那么所构成的同位角 . （二）平行线的性质1 由上探究可得: 性质1 两条 直线被第三条直线所截， 相等. 简单说成：两直线 ， 相等. 用数学语言表述为 ∵ ， ∴ .（两直线平行，同位角相等） （3） 练一练 如图，直线，直线与相交.若，则的度数为______. （四）实例运用 例1如图，直线a，b被直线c所截，若，，求的度数. 【变式训练】如图，在中，．证明： (1) (2)． 三、平行线的性质2 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ （一）问题探究 如图，已知 ，那么与相等吗？为什么？ 探究： ∵ (已知) ∴ .(两直线平行， 相等) 又∵ (对顶角相等) ∴ (等量代换) （二）平行线的性质2 由上探究可得: 性质2 两条 直线被第三条直线所截， 相等. 简单说成：两直线 ， 相等. 用数学语言表述为 ∵ ， ∴ .（两直线平行，内错角相等） （三）练一练 如图，平行线被直线所截，平分.若，则的度数是_____. （四）实例运用 例2如图，，AD平分，，求的度数. 【变式训练】如图，已知分别平分与． 求证：． 四、平行线的性质3 （一）问题探究 如图，已知 ，那么与有什么关系？为什么？ 探究： ∵ (已知) ∴ .(两直线平行， 相等) 又∵ (邻补角互补) ∴ (等量代换) （二）平行线的性质3 由上探究可得: 性质3 两条 直线被第三条直线所截，同旁内角 . 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 用数学语言表述为 ∵， ∴ .（两直线平行， 互补） （三）练一练 如图， ，，则的度数是（    ） A． B． C． D． （四）实例运用 例3如图，已知直线，，求、的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， 又（   ）， （   ）（   ）． ， （    ）（   ）， （   ）（等式的性质）． 【变式训练】如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，梯形的另外两个角分别是多少度？ 五、平行线的判定与性质的综合运用 （一）平行线的判定与性质小结 1.平行线的判定 文字简述 符号语言 图示 方法1：同位角相等，两直线平行. ∵ ， ∴. 方法2：内错角相等，两直线平行. ∵ ， ∴. 方法3：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ， ∴. 方法4：平行于同一条直线的两条直线平行. ∵， ∴. 方法5：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. ∵， ∴. 2.平行线的性质 文字简述 符号语言 图示 两直线平行，同位角相等. ∵ ， ∴ . 两直线平行，内错角相等. ∵， ∴. 两直线平行，同旁内角互补 ∵， ∴. （二）平行线的判定与性质的综合运用 1.先性质再判定 例4 如图，已知直线，那么直线与平行吗？为什么？ 思考：你还有其他的解题方法吗？能不能分享一下你的解题思路. 2.先判定再性质 例5 如图，等于多少度？ 6、 与平行线有关的三类问题 （一）拐点问题：拐点问题的做题技巧是过拐点作已知直线的平行线，并利用平行线的传递性得出题设的三条直线相互平行，从而解决问题. 例6如图，，点在与之间，，，求的度数. 【变式训练】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，求大腿与小腿的夹角的度数. （二）尺子问题：做题技巧是已知学生用尺，则尺子的形状、度数可直接使用，题目不做说明. 例7如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，求的度数. 【变式训练】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，求的度数. （4） 折叠问题：折叠问题的做题技巧是折叠前后的对应边相等，对应角相等. 例8如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，求的度数. 【变式训练】如图，这是一个四边形纸片ABCD，，．把纸片按图所示的方式折叠，使点B落在边AD上的点处，AE是折痕，求的度数． 7、 达标检测 1．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2025—2026学年第一学期学业水平监测九年级数学试题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级上·北京通州·期末）含角的三角板与直尺如图所示叠放在一起，直尺的一边所在直线与三角尺的一直角边所在直线相交，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 11．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线，，求、的度数．抄写下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____________） ∴（_____________） ∵（_____________），（已知） ∴（   ）（等量代换）． 又∵， ∴（   ）（等式的性质）． 12．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，已知直线，，求、的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（   ）， 又（   ）， （   ）（   ）． ， （    ）（   ）， （   ）（等式的性质）． 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 14．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题： (1)当三角板按如图①的方式摆放时，若，求证：； (2)当三角板按如图②的方式摆放时，若，求的度数． 16．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 八、课堂小结：今天我们都学习了哪些内容？ - 1 - 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