河北省石家庄二中铭德学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

石家庄二中2024级12月月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列中，，则前项和的值为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 6. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前n项和为．则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 11. 设首项为1的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是单调递增数列 D. 若，则正整数的最小值为19 三、填空题（每题6分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且（），则______. 13. 已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 14. 若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 16. 已知函数，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 17. 已知首项为的数列的前项和为，且. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）求. 18. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积. （3）记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 石家庄二中2024级12月月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（每题6分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）由（1）知，， 所以. 故， 又 ， 所以数列是递增数列. 当时，取得最小值，又， 所以. 【17题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $