7.2.1平行线的概念-导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

姓名: 学科: 日期: 7.2.1平行线的概念（1课时）（解析版） （ 制 作：许 鸥 日 期：2026年1月28日 第1周 ） 【学习目标】 1.经历情景观察，认识与理解平行线的概念及表示.（直观想象、数学抽象•重点） 2.会用三角尺、直尺、方格纸等画平行线，在操作活动中，探索并掌握平行线基本事实Ⅰ及其推论.（直观想象、逻辑推理•重难点） 【学习过程】 1、 情景导入 通过上一节的学习，我们已经认识了平面内两条直线的一种基本关系——相交.生活中两条直线除了相交以外，还有其他关系吗？请观察下列图片并回答问题. 二、平行线的概念 （一）问题探究 如图,将两根木条分别与木条钉在一起,并把它们想象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线. 固定木条和,转动木条,直线从在的左侧与直线相交逐步变为在的右侧与直线相交.想象一下,在这个过程中,有没有直线与直线不相交的位置呢? 探究：在木条转动的过程中，存在直线与不相交的位置，如图（2）所示. （二）平行线的概念 像图（2）这样，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行直线. 如图所示，在同一平面内，直线与（或直线与）处于不相交的位置，这时我们说直线与（或直线与）互相平行，记作：“”或“”. 注：①两条直线平行的前提条件是“在同一平面内”； ②“不相交”指的是“两条直线没有公共点”； ③平行线的本质是直线，不是线段或射线. （三）练一练：下列说法正确的是（ ） A.同一平面内没有公共点的两条直线平行 B.两条不相交的直线一定平行 C.同一平面内没有公共点的两条线段平行 D.同一平面内没有公共点的两条射线平行 解析：选A. 2、 平行线的基本事实1及其推论 （1） 问题探究 1.问题1：如图，借助直尺和三角尺，如何作一条已知直线的平行线？请写出作图步骤. 探究1：一落、二靠、三推、四画， 上图中直线即为已知直线的平行线，记作：. 2.问题2：如图，过直线外一点作直线的平行线,能作几条平行线？过直线外另一点呢？通过作图，你能得出什么基本事实？ 探究2: 解析： 由图知，过直线外一点作直线的平行线,只能作1条平行线，且平行于同一条直线的两条直线平行. （2） 平行线的基本事实1——唯一性 由上探究可知 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. （三）平行线基本事实1的推论——传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简述为为：平行于同一条直线的两条直线平行. 用数学语言表述为 ∵ ， ∴ .（平行于同一条直线的两条直线平行） （四）练一练：下列说法中正确的有（ ） ①一条直线的平行线只有一条； ②过一点与已知直线平行的直线有且只有一条； ③因为，所以； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：选A 三、实例运用 例1 如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【答案】(1)见解析； (2)平行． 【难度】0.85 【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查平行线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别过点作直线a的平行直线； （2）根据“如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：所作的直线的位置关系是平行，理由是：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 故答案为：平行． 例2 如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 【答案】∠AOC=60° 【难度】0.65 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】由条件可证明A、O、B三点在一条件直线上，可得∠AOB为平角，再由两角的关系可求得∠AOC． 【详解】解析：因为 AO∥CD，BO∥CD, 所以A,O,B在同一条直线上， 所以∠AOB=180°. 因为∠AOC=∠AOB， 所以∠AOC=60° 【点睛】考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 四、达标检测 1．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则的余角是 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角、平行公理的应用、两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质、平行公理、余角的定义，熟练掌握线段的性质、平行公理、余角的定义是解题的关键． 根据线段的性质、平行公理、余角的定义解答即可． 【详解】解：A、∵两点之间线段最短，不是直线，∴A错误； B、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项B未指定“直线外”，∴B错误； C、∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但选项C未指定“同一平面内”，∴C错误； D、∵余角的定义：若，则其余角为，∴D正确． 故选：D． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】两点间的距离、点到直线的距离、垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有 条． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题是对平行公理的考查，熟记公理是解题的关键． 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案． 【详解】解：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 故答案为：． 6．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】 垂直 【难度】0.4 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 7．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性． 【答案】互相平行 【难度】0.94 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查平行线公理及推论，根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 【详解】平行线的传递性定理指出：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 故答案为：互相平行． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【难度】0.85 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【难度】0.65 【知识点】画垂线、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)垂线段最短 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、画出直线、射线、线段、画垂线 【分析】本题考查了画直线，平行线，垂线，垂线段最短． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点A画垂线即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【详解】（1）解：直线即为所求； （2）解：线段即为所求； （3）解：线段即为所求； （4）点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 11．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【难度】0.65 【知识点】画垂线、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、格点作图题 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些内容？ 1.经历情景观察，认识与理解了平行线的概念及表示. 2.会用三角尺、直尺、方格纸等画平行线，在操作活动中，探索并掌握了平行线基本事实Ⅰ及其推论. - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 7.2.1平行线的概念（1课时）（原卷版） （ 制 作：许 鸥 日 期：2026年1月28日 第1周 ） 【学习目标】 1.经历情景观察，认识与理解平行线的概念及表示.（直观想象、数学抽象•重点） 2.会用三角尺、直尺、方格纸等画平行线，在操作活动中，探索并掌握平行线基本事实Ⅰ及其推论.（直观想象、逻辑推理•重难点） 【学习过程】 1、 情景导入 通过上一节的学习，我们已经认识了平面内两条直线的一种基本关系——相交.生活中两条直线除了相交以外，还有其他关系吗？请观察下列图片并回答问题. 二、平行线的概念 （一）问题探究 如图,将两根木条分别与木条钉在一起,并把它们想象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线. 固定木条和,转动木条,直线从在的左侧与直线相交逐步变为在的右侧与直线相交.想象一下,在这个过程中,有没有直线与直线不相交的位置呢? 探究：在木条转动的过程中， 直线与不相交的位置，如 所示. （二）平行线的概念 像图（2）这样，在 内， 的两条直线叫做 直线. 如图所示，在同一平面内，直线与（或直线与）处于 的位置，这时我们说直线与（或直线与）互相 ，记作：“ ”或“ ”. 注：①两条直线平行的前提条件是“ ”； ②“不相交”指的是“两条直线 公共点”； ③平行线的本质是 ，不是 或 . （三）练一练：下列说法正确的是（ ） A.同一平面内没有公共点的两条直线平行 B.两条不相交的直线一定平行 C.同一平面内没有公共点的两条线段平行 D.同一平面内没有公共点的两条射线平行 二、平行线的基本事实1及其推论 （1） 问题探究 1.问题1：如图，借助直尺和三角尺，如何作一条已知直线的平行线？请写出作图步骤. 探究1： ， 上图中直线即为已知直线的 ，记作： . 2.问题2：如图，过直线外一点作直线的平行线,能作几条平行线？过直线外另一点呢？通过作图，你能得出什么基本事实？ 探究2: 由图知，过 一点作直线的平行线,只能作 条平行线，且平行于 直线的两条直线 . （2） 平行线的基本事实1——唯一性 由上探究可知 过 一点有且只有 直线与这条直线 . （三）平行线基本事实1的推论——传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简述为为：平行于同一条直线的两条直线平行. 用数学语言表述为 ∵ ， ∴ .（平行于 直线的两条直线平行） （四）练一练：下列说法中正确的有（ ） ①一条直线的平行线只有一条； ②过一点与已知直线平行的直线有且只有一条； ③因为，所以； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、实例运用 例1 如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 例2 如图，AO∥CD，BO∥CD，且，求∠AOC的度数. 四、达标检测 1．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则的余角是 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有 条． 6．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 7．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并标注相关字母． (1)画直线； (2)过点C画线段，使，且； (3)过点A画直线的垂线段，垂足为点E； (4)点A与直线上各点连接的所有线段中，线段最短的数学道理是______． 11．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些内容？ - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $