精品解析：山西省临汾市古县古县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

山西省临汾市古县古县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（共7题，每题5分，共35分） 1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用递推关系，直接求解即可. 【详解】因为，，所以，， 故选：C. 3. 已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【详解】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 4. 设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（ ） A. 1 B. 0 C. 100 D. 3700 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定数列是常数列即可. 【详解】根据题意，， 又数列，是项数相同的等差数列， 所以数列是常数列， 所以数列的第37项为100. 故选：C. 5. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用与的关系即得. 【详解】①， 当时， ②， 则①－②得，， 故． 当时，，也符合. 故选：D． 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 二、多项选择题（共2题，每题6分，共12分） 8. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 9. 已知数列满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为单调递减数列 D. 的前n项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】，则得到为等差数列，即可判断A，求出其通项，即可判断A，利用函数单调性即可判断C，利用等差数列的前和公式即可判断D. 【详解】因为，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误； ，即，故选项B正确； 根据函数在上单调递增，且，则函数在上单调递减， 又因为，，则数列为单调递减数列，故选项C正确； 的前项和，故选项D正确, 故选：BCD. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 10. 数列 的一个通项公式为 ____________________. 【答案】 【解析】 【分析】观察其分子，分母与项之间的关系即可求. 【详解】可化为， 所以分子部分为， 分母部分为， 奇数项为正，偶数项为负，则， 则. 故答案为： 11. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义计算可得结果. 【详解】由题意得，抛物线准线方程为. 设，根据抛物线定义得， ∴. 故答案为：4. 12. 若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大. 考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题. 四、解答题（共43分） 13. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入通项公式计算即可； （2）讨论时，，时，前3项取相反数求和，从第4项开始直接用原数列求和，利用等差数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为. 因为在等差数列中，， 所以，解得. 所以的通项公式为. 【小问2详解】 令，解得，令，解得. 当时，，则. 此时. 当时， 因此，的前项和 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积. 【小问1详解】 由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 15. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论. 【详解】（1）设的公比为，为的等差中项， ， ； （2）设的前项和为，， ，① ，② ①②得， ， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题. 16. 已知数列的前n项和为，满足. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） 证明：当时，，计算得出， 当时，根据题意得，， 所以 ， 即  ， 即， 由于  数列是首项为，公比为的等比数列； （2） 【解析】 【分析】(1)由已知数列递推式求得首项，且当时，有，结合原式作差得到，即 ，从而证得为等比数列． (2)求出，再通过裂项相消法求数列的前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省临汾市古县古县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题 （考试时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（共7题，每题5分，共35分） 1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第37项为（ ） A. 1 B. 0 C. 100 D. 3700 5. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共2题，每题6分，共12分） 8. 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足，则（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为单调递减数列 D. 的前n项和 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 10. 数列 的一个通项公式为 ____________________. 11. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______. 12. 若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大． 四、解答题（共43分） 13. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 15. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． （1）求的公比； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知数列的前n项和为，满足. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $