精品解析：山东省菏泽市郓城县实验中学2025-2026学年高二1月月考数学试题

高二阶段性测试数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，， 所以，解得， 所以的值为4. 故选：A. 3. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以． 故选：D． 4. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 5. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有 故选：C 6. 已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 7. 已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项. 【详解】数列中，由，得，由，得， 则当时，；当时，， 即， 所以数列的最小项是第6项. 故选：B 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据平面向量数量积和线性运算的坐标表示可得建立方程组，解得，代入双曲线方程可得e的方程，解之即可求解. 【详解】如图，，设， 则, 由，得， 解得，又在双曲线上， 所以，即，整理得， 即，由解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（     ） A. B. C. 当或6时，数列有最小项 D. 是等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以，故B正确； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D. 【详解】对于A，，令，可得：， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大， 且最大距离为，故B正确； 对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误； 对于D，当时，直线， 设直线关于直线的对称直线为， 一定经过直线和直线的交点，设为， 由可得：，所以， 在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上， 所以，解得：， 所以，在直线上， 所以，化简可得：，故D正确. 故选：ABD. 11. 三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】先以向量表示向量，再利用空间向量数量积即可求得的长度. 【详解】三棱锥中，由可得，， 则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为， 则当时，， 当时，， 所以的长度可以为，. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】运用等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以由， 于是， 故答案为： 13. 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】因为平面，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量，则即 不妨设，可得， 因为，所以. 则点到平面的距离为. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程，根据求出的范围，再将转化为点到的距离和点到的距离之比，即可得解. 【详解】联立，消去可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 易知，，则，， ，解得或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到的距离和点到的距离之比，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 16. 在数列中，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）由，可得， 因为，由可得，同理可得，， 以此类推可知，对任意的，，所以， 等式两边取倒数得，整理得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2） （3）因为， 所以 ， 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）由已知等式得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可得出数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式； （3）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以. 【小问3详解】 略 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，所以， 因为,所以是等边三角形， 所以, 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）由(1)建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，平面平面，而平面平面， 平面，所以平面， 所以直线两两垂直，以为原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 由，取，得， 设平面的法向量为， 由，取，得， 所以，由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【答案】（1） （2）1或－1. 【解析】 【详解】（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为． （2）由得． 设点M，N的坐标分别为，，则，，，． 所以|MN|===． 由因为点A（2,0）到直线的距离， 所以△AMN的面积为． 由，解得，经检验，所以． 19. 在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，，， 在三角形中，由正弦定理可得，， ，又，故， 所以，即， 因为，，，所以，则有， ，平面，所以平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据长度和角度得到，，进而可证. （2）设，利用向量法求出即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，且平面， 所以平面平面.平面平面， 在平行四边形中，，即，故平面. 以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得， 因为，解得， 因此，线段PC上存在点，使二面角的余弦值为，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段性测试数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 3. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 4. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（     ） A. B. C. 当或6时，数列有最小项 D. 是等差数列 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 点到直线的最大距离为 C. 直线一定经过第四象限 D. 当时，直线关于直线的对称直线为 11. 三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ） A. 5 B. C. D. 6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，则__________. 13. 如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 16. 在数列中，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，数列的前项和为，证明：. 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 19. 在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $