精品解析：浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第五次周考数学试题

2025-2026学年高二数学第五次周考 数学学科试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3. 若直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ） A. 0 B. 或0 C. 0或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线垂直得到方程，求出实数的值. 【详解】由题意得，解得或. 故选：C 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得，进而得到，利用勾股定理求得，进而得到，然后利用正弦定理中的外接圆直径公式，求得的外接圆半径为R，然后计算其面积. 【详解】设，由抛物线的定义可知， 所以，代入抛物线的方程中得到， 由几何关系可知，. 设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，解得， 所以的外接圆面积为. 故选：A 6. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过数列的递推公式计算数列的前项，可得数列为周期数列，由此可得结果. 【详解】∵，， ∴，，， ∴数列为周期数列，周期为. ∵， ∴. 故选：C． 7. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 8. 如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 11. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 四边形面积的最小值为 C. D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理并计算可判断A正确，求得四边形面积的表达式为并利用基本不等式计算可得最小值为，即B错误；根据焦半径公式代入计算可得C正确，求得解方程计算可得，即D正确. 【详解】如下图所示： 易知，设， 则直线的方程为，其中， 联立，整理可得， 可得， 对于A，设，易知直线的斜率为，方程为； 同理可得 所以 ，可知A正确； 对于B，由焦点弦公式计算可得， 因为，可得四边形面积为 ， 所以四边形面积的最小值为，即B错误； 对于C，由B可知，即C正确； 对于D，若，可得 ， 即可得，解得，即或（舍）； 因此直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 即直线的斜率为，即D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和，已知，.则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式. 【详解】因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为：. 故答案为：. 13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 14. 已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】设， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减得， 即是过切点的直线方程， 则，所以， 又因为点到直线的距离， 所以， 又因为在点P在椭圆上， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即面积的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行六面体中，，，是的中点. （1）求的长； （2）求. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【小问1详解】 连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. 【小问2详解】 ， ∴ . 16. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【小问1详解】 由题可知：. 当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． 【小问2详解】 由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以. 所以△ABO的面积． 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. （1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（1）中方程求解即可. 【小问1详解】 设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：由余弦定理， 有， 因为，即， 所以， 因为底面平面， 所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）（i）证明：连接， 因为平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，同理，有， 因为底面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，因此，有， 所以为四棱锥的外接球的球心. 按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接， 由，有， 又，所以是正三角形， 有，易知， 设，则，有， 因为，所以， 有，得， 即，有， 故四棱锥的外接球的半径为. 球的半径为；（ii） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，由，则，再由线面垂直的性质，得到，即有平面，即可得证； （2）（i）连接，易证，，故由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可证得四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，且为四棱锥的外接球的球心；进而建立空间直角坐标系，设，由，，求得的值，进而根据，利用勾股定理即可求解；（ii）求得平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量法求得二面角的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii），得， 设平面的法向量为， 由有 则，取，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由有 取，则， 得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则. 19. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 【答案】（1）当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ． 同理，，，． 该性质成立； （2）（i）当时，面积的最大值为；当时，面积的最大值为； （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ， ，， 因为，所以． 点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设与直线，的夹角分别为，，即证即可； （2）（i）设，，，结合椭圆方程消元得，由韦达定理得，计算，代入即可求解； （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得：，代入即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ． 令，则． 当时，， 当且仅当，即时取等号，得 ， 所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为； 当时，面积的最大值为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第五次周考 数学学科试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线：与直线：垂直，则实数的值为（ ） A. 0 B. 或0 C. 0或 D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（ ）. A. B. C. D. 6. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C. 在数列1，，，2，，....，第8个数是 D. 数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 11. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 四边形面积的最小值为 C. D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和，已知，.则的通项公式为__________. 13. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为________． 14. 已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行六面体中，，，是的中点. （1）求的长； （2）求. 16. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. （1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值. 19. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． （1）证明椭圆的光学性质； （2）如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $