精品解析：江苏省天一中学宛山湖分校2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题

江苏省天一中学宛山湖分校2025-2026学年第一学期1月学情检测 高一（数学） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 函数（且）的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 若，，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 10. 关于函数，，有下列命题，其中正确的是（ ） A. 是以为最小正周期的周期函数 B. 的表达式可改写为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 在定义域内为增函数 D. 若，则 三、填空题（共15分） 12. 已知，则的值为______. 13. 已知函数是上的奇函数，且，当时，，则________． 14. 已知函数，若，则的取值________． 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题 15. 解下列不等式 （1） （2）， 16. （1）已知角的终边与单位圆在第四象限交于点，且点的坐标为．求的值． （2）证明：． 17. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变． （1）若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少； （2）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放． 18. 已知函数．为奇函数． （1）求的值； （2）证明在上单调递增，并求出值域； （3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学宛山湖分校2025-2026学年第一学期1月学情检测 高一（数学） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 已知，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解法求出集合，然后求交集即可. 【详解】. 所以. 故选：B. 2. 函数（且）的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数图象过定点，故可令，求解即可． 【详解】由对数函数的性质，令，即，此时， 故函数的图象恒过定点. 故选：B． 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别判定与0、1的大小关系，即可得出结论. 【详解】，， ，， ∴, 故选：A 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可. 【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D； 当时，，即，此时，排除C； 当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快， 所以趋向于，排除B. 故选：A. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。 【详解】由，则或， 所以能推出，但推不出， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 6. 如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形先求出，的正切值，再利用两角差的正切公式计算即得. 【详解】由图知， 则. 故选：B 7. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可. 【详解】由，得， 即，故，A、B错误； 又由，，得， 故牛奶的温度从降至需， 从降至还需. 故选：D 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有8个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合得到当时，有4个根，则要有两个不相等的实数根，且，根据二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】令，因为是定义域为的偶函数，画出的图象如下： 由图象可知：当时，有4个根， 要想有且仅有8个不同的实数根， 则要有两个不相等的实数根，且， 令， 则，解得：. 故选：A 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 若，，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定、不等式、幂函数、一元二次方程的根等知识确定正确答案. 【详解】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，A选项正确. B选项，若，，如，则，B选项错误. C选项，函数是幂函数， 所以，解得或， 与“”矛盾，所以C选项错误. D选项，设，则有两个零点， 且两个一正一负，则，所以D选项正确. 故选：AD 10. 关于函数，，有下列命题，其中正确的是（ ） A. 是以为最小正周期的周期函数 B. 的表达式可改写为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式对原函数进行化简，根据正弦型函数的性质及诱导公式逐项分析判断即可. 【详解】. 选项A：最小正周期，A错误. 选项B：，B正确. 选项C：结合对称性，令，，则，. 所以的对称轴为，，所以不存在，使得，C错误. 选项D：结合对称性，令，，则，. 所以的对称中心为，当时，对称中心为，D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 在定义域内为增函数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用换元法求得，即可判断A，再根据函数奇偶性的判定方法即可判断B，对C直接从解析式形式即可判断其单调性，对D根据单调性解不等式即可. 【详解】设，则，故， 所以，，故A错误， ，且定义域关于原点对称，所以为奇函数，故B正确， ，为增函数，且恒大于0，则为减函数，则为增函数，则为增函数，故C正确， ，根据为增函数，所以，解得， 故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共15分） 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式可得,且,进而求解即可. 【详解】由题,, 所以 , 故答案为: 【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值,考查运算能力. 13. 已知函数是上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据得到函数的周期，进而得到，结合函数为奇函数及函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数. ， 又函数是上的奇函数，当时，， 所以， 因此. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则的取值________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数并判断单调性及奇偶性，进而求解不等式. 【详解】令，则原不等式可化为. 函数的定义域为， ， 所以为奇函数. ，令，则， 因为在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增. 所以可化为， 所以，解得. 故的取值范围为. 故答案为：. 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题 15. 解下列不等式 （1） （2）， 【答案】（1）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算对原不等式进行变形，结合取不同取值时对数函数的单调性求解即可. （2）根据正切函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 对数函数的真数必须大于0，所以需满足，解得. 原不等式可化为. 当时，不等式变为，整理得，即， 解得或，又，所以此时不等式解集为. 当时，不等式变为，整理得，即， 解得，又，所以此时不等式解集为. 综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【小问2详解】 由正切函数的性质可知，在和单调递增. 当时，单调递增，所以，即，满足条件. 当时，单调递增，由可得，， 此时不等式解集为. 综上，不等式的解集为. 16. （1）已知角的终边与单位圆在第四象限交于点，且点的坐标为．求的值． （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明： . 所以. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义求出，，结合诱导公式对原式进行化简，再代入求值即可. （2）利用同角的三角函数关系证明即可. 【详解】（1）解：因为点在单位圆上，所以，所以， 又角的终边在第四象限，所以，故. 由三角函数定义，，. ， 故. （2）略 17. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变． （1）若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少； （2）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将代入计算即可得到污染物的浓度与初始浓度的比值；（2）由前4 h消除了80%的污染物，可得，再根据污染物的浓度不超过初始浓度的4%求得处理的总时间，可得结果. 【小问1详解】 过滤2 h后，， 所以污染物的浓度与初始浓度的比值是； 即污染物的浓度与初始浓度的比值是. 【小问2详解】 由题意知，前4 h消除了80%的污染物， 又因为， 所以，得． 设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为， 由，即， 得，联立，得 ，所以， 故至少还需过滤才能排放． 18. 已知函数．为奇函数． （1）求的值； （2）证明在上单调递增，并求出值域； （3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 任取，，且， 则， 由，可得，即， 所以， 即，函数在上单调递增； 又，，则， 所以，所以； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程，解方程即可得的值； （2）化简函数解析式，利用定义法这证明函数单调性，并判断值域； （3）根据函数的奇偶性及单调性可将不等式转化为，分离参数，结合不等式有解，可转化为. 【小问1详解】 由已知，则， 由奇函数可知， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知，即， 又函数为奇函数，且在上单调递增， 即， 所以，即， 所以当时，不等式有解， 即， 设，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即. 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数单调递增区间为，. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $