专题3.1 图形的平移 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

图形的平移 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平移的概念 考点梳理 1.平移的定义：在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移. 如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B' =AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC 射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离. 典例引领 考向01 生活中的平移现象 【例1】下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 考向02 图形的平移 【例2】如图所示的是一个镶边的模板．下列基本图形中，可通过一次平移得到该模板图案的是（   ） A． B．C．D． 对点提升 【对点1】二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（    ） A． B． C． D． 【对点2】如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 考点02 平移的性质 考点梳理 1、图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置。 2、对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行。 3、对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离。 典例引领 考向01 利用平移的性质求解 【例1】如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 考向02 利用平移解决实际问题 【例2】在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是 的（填“正确”或“不正确”）． 考向03 求点沿x轴、y平移后的坐标 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是 ； （2）当取得最小值时，点M的坐标是 ． 考向04 由平移方式确定点的坐标 【例4】在平面直角坐标系中，将三角形上各点的纵坐标都减4，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向右平移了4个单位长度 B．向左平移了4个单位长度 C．向上平移了4个单位长度 D．向下平移了4个单位长度 考向05 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例5】如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 考向06 已知图形的平移，求点的坐标 【例6】如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 考向07 已知平移后的坐标求原坐标 【例7】在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 考向08 平移综合题（几何变换） 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 考向09 坐标系中的平移 【例9】开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 对点提升 【对点1】如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【对点2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为 （本题中）． 【对点3】（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【对点4】如图，在平面直角坐标系中，，．现同时将点，向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，到达点，的位置，将各点依次连接． (1)点的坐标为_____．点的坐标为_____； (2)四边形的面积为_____； (3)在轴上是否存在一点，使得的面积是的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【对点5】如图，三角形是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． (2)若是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为，分别求a和b的值． (3)三角形的面积为_____________． 【对点6】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向右平移7个单位长度，请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标___________； (2)在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标__________； (3)观察可知与成轴对称，请画出对称轴直线，并写出直线与轴交点的坐标__________． 【对点7】已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 【对点8】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【对点9】已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 考点03 平移作图 考点梳理 平移作图步骤： 1、找出能代表图形的关键点; 2、将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; 3、过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置; 4、连接关键点，还原图形. 典例引领 考向01 平移（作图） 【例1】如图，在平面直角坐标系中，和的顶点均在边长为1的正方形方格的格点上．和关于轴对称，已知 (1)写出点的坐标； (2)请在平面直角坐标系内画出向下平移5个单位的图形； (3)求的面积． 对点提升 【对点1】图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 4．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，长方形中，，．若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形．当将长方形平移 时，两长方形的重叠部分的面积是． 12．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为 ． 13．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位长度得到点，则代数式的值为 ． 14．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 15．已知点，，，以，，三点为顶点画对边互相平行的四边形，则第四个顶点不可能在第 象限． 3、 解答题 16．在等腰中，，将沿射线方向平移至的位置．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图①中，作出的中点M； (2)在图②中，作出的中点N． 17．如图，在直角坐标系中，边长为4的等边三角形的顶点都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是_____个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是_____； (2)已知点的纵坐标为，则点的坐标为____； (3)连接，交于点，求的度数． 18．如下图，将面积为的沿x轴正方向平移至的位置，相应的坐标如下图所示（a，b为常数），求： (1)点D，E的坐标． (2)四边形ACED的面积． 19．如下图，护城河在处直角转弯，宽度保持．从处往处，经过两座垂直于河岸的桥：，．设护城河是东西一南北方向，，两处在东西方向上相距，南北方向上相距．若有一条路可使从处往处的路程最短，求这个最短距离． 20．如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形的平移 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 平移的概念 考点梳理 1.平移的定义：在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移. 如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B' =AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC 射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离. 典例引领 考向01 生活中的平移现象 【例1】下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 考向02 图形的平移 【例2】如图所示的是一个镶边的模板．下列基本图形中，可通过一次平移得到该模板图案的是（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是理解平移的定义，找到组成整个图案的基本图形． 经过观察可得整个图案可由一组个图案平移次得到． 【详解】解：是由一组个图案平移得到的． 故选：B． 对点提升 【对点1】二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于二方连续纹样的是D， 故选：D． 【对点2】如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同，解答本题的关键是熟练掌握平移的定义． 根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小来判断即可． 【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 考点02 平移的性质 考点梳理 1、图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置。 2、对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行。 3、对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离。 典例引领 考向01 利用平移的性质求解 【例1】如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 考向02 利用平移解决实际问题 【例2】在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是 的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 考向03 求点沿x轴、y平移后的坐标 【例3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是 ； （2）当取得最小值时，点M的坐标是 ． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 考向04 由平移方式确定点的坐标 【例4】在平面直角坐标系中，将三角形上各点的纵坐标都减4，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向右平移了4个单位长度 B．向左平移了4个单位长度 C．向上平移了4个单位长度 D．向下平移了4个单位长度 【答案】D 【分析】根据坐标平移的性质，纵坐标减少，图形向下平移． 坐标平移中，纵坐标变化影响上下平移，减则向下；横坐标变化影响左右平移． 【详解】解：设点为图形上任意一点，变换后为， ∵横坐标不变，纵坐标减4， ∴图形向下平移了个单位． 故选：D 考向05 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例5】如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键． 根据对应点的平移得到平移中解析式的变化规律，可得出答案． 【详解】解：∵ 直线 平移后得到，且斜率不变， ∴ 平移是竖直方向的. 对于点在上，平移后对应点应满足， 即当 时，，平移后得到的点坐标为， ∵ 点 向下移动个单位到， ∴直线 向下平移 个单位得到 . 故选：B． 考向06 已知图形的平移，求点的坐标 【例6】如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，理解平移性质，正确得到对应点的位置是解答的关键．先确定平移方式：先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，进而求出结论． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 考向07 已知平移后的坐标求原坐标 【例7】在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 考向08 平移综合题（几何变换） 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质： （1）根据平移的性质求解； （2）设t秒后轴，根据轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段上时，②如图2中，当点P在的延长线上时，③如图3中，当点P在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证． 考向09 坐标系中的平移 【例9】开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系； （2）观察表示旋转木马的点的位置，可得其坐标； （2）根据线段垂直平分线的性质，作出的垂直平分线，其交点E就是游客中心的位置． 【详解】（1）解：∵表示碰碰车的点的坐标为， ∴表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到原点， 画出平面直角坐标系，如图： （2）解：由图看出，表示旋转木马的点的坐标是 （3）解：如图，点E即为游客中心位置， 理由：如下图， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点E到点A、B、C的距离相等． 对点提升 【对点1】如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，勾股定理求出，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：由平移的性质得到，，故选项A正确； ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴．故选项D正确； ∵，，， ∴；故选项C正确； 无法得到平分；故选项B错误； 故选B． 【对点2】如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为 （本题中）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平移的性质，如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台， 将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示， 由平移的性质可得，则 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值， ∵油罐底面圆直径约为，高为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴旋梯的扶手长度的最小值为， 故答案为：． 【对点3】（1）若网格中小正方形的边长为1，请建立一个合适的平面直角坐标系，使得教学楼的坐标为，并分别写出图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）由于学校扩大建设，教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼需要等距离整体迁移，已知迁移后新的教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼分别用，，，表示，且这四点的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的．请先在图中描出，，，的位置，画出四边形，再说明四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的． 【答案】（1）见解析,图书馆，宿舍楼，实验楼；（2）见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，坐标与图形的平移，掌握平面直角坐标系中点的坐标确定方法和图形平移的坐标变化规律是解题的关键． （1）根据教学楼坐标确定平面直角坐标系的原点位置，再结合网格边长为，确定图书馆、宿舍楼、实验楼的坐标； （2）根据新坐标与原坐标的变化规律，判断图形的平移方向与距离． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示， 图书馆，宿舍楼，实验楼； （2）点，，，的坐标均用原来各地的纵坐标减5，横坐标不变得到的， ，，，的位置如图所示，则四边形是以教学楼、图书馆、宿舍楼、实验楼所在地为顶点的四边形向下平移个单位长度得到的． 【对点4】如图，在平面直角坐标系中，，．现同时将点，向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，到达点，的位置，将各点依次连接． (1)点的坐标为_____．点的坐标为_____； (2)四边形的面积为_____； (3)在轴上是否存在一点，使得的面积是的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）利用面积公式直接求解即可； （3）先求出的面积，然后得到的面积，设点的坐标为，根据三角形面积公式求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：，． 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，到达点， 则坐标为，即； 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，到达点， 则坐标为，即． （2）解：． ，， ， ． （3）解：存在． 点在轴上， ． 设点的坐标为． 的面积是的2倍， ， 解得或， 点的坐标为或． 【对点5】如图，三角形是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． (2)若是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为，分别求a和b的值． (3)三角形的面积为_____________． 【答案】(1)，；三角形是由三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 (2)a的值是2，b的值是5 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化、解一元一次方程、割补法求三角形面积，熟练掌握坐标与图形的平移变化是解题的关键． （1）先写出点和点的坐标，然后根据点到点的位置变化，得出平移方式即可； （2）根据（1）的平移方式可得，，解方程即可； （3）根据网格，利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：由图知，，． 三角形是由三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的． （2）解：由（1）中的平移变换得，， 解得，． 故a的值是2，b的值是5． （3）解：的面积 ． 【对点6】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向右平移7个单位长度，请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标___________； (2)在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标__________； (3)观察可知与成轴对称，请画出对称轴直线，并写出直线与轴交点的坐标__________． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别作出的对应点即可； （2）分别作出的对应点即可； （3）观察图形即可得到答案； 【详解】（1）解：将向右平移7个单位得，如图： 由图可知，的坐标为， 故答案为：； （2）解：画出关于轴对称的，如上图， 由图知，点的坐标为； 故答案为：； （3）解：观察与，可知它们关于直线对称， ∴直线与轴的交点的坐标为； 故答案为：； 【对点7】已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 【答案】(1)当且时，点在第二象限； (2) 【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果； （2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在第二象限， ∴，， 解得，， 即当且时，点在第二象限； （2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点， ∴， 解得：． 【对点8】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 【对点9】已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 考点03 平移作图 考点梳理 平移作图步骤： 1、找出能代表图形的关键点; 2、将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; 3、过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置; 4、连接关键点，还原图形. 典例引领 考向01 平移（作图） 【例1】如图，在平面直角坐标系中，和的顶点均在边长为1的正方形方格的格点上．和关于轴对称，已知 (1)写出点的坐标； (2)请在平面直角坐标系内画出向下平移5个单位的图形； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-平移变换，写出点的坐标及三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据点E在坐标系的位置即可解答； （2）根据平移的性质得到，再顺次连接即可得； （3）运用分割法求解即可． 【详解】（1）解：如图，点的坐标； （2）解：如图，即为所作图形： （3）解：的面积． 对点提升 【对点1】图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图；掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形； （3）解：如图， 四边形为所求作图形． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为. 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 故选： A． 2．在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，根据坐标系中点的平移的坐标变化得到点A平移后的坐标，再根据点A平移与点B重合列方程求解k． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，坐标为 ∵平移后与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【详解】解：，， ， 两只蚂蚁行走的路程相等， 又它们爬行的速度相等， 两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． 4．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 5．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 6．如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 7．已知．规定“把点M先关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形经多次变换后的规律，通过计算前几次变换，发现规律：奇数次变换后点的纵坐标为，横坐标为2减去变换次数；偶数次变换后点的纵坐标为2，横坐标为2减去变换次数，2024是偶数，即可得出点M的坐标． 【详解】解：∵点， 第一次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第二次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第三次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； 第四次变换：关于x轴对称得，再向左平移1个单位得； … ∴第n次变换后，若n为奇数，则点M坐标为； 若n为偶数，则点M坐标为， ∵2024为偶数， ∴点M坐标为即． 故选：A． 8．在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形的顶点、的坐标分别是、，把经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称与平移的性质，等边三角形性质，勾股定理等知识，综合性强，难度较大．作，垂足为D．先求出点A坐标为，分别计算经过多次变换后A的对应点坐标，得到第n次变换后点A的对应点坐标为：当n为奇数时，；当n为偶数时，．据此即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为D． ∵点、的坐标分别是、， ∴轴， ∵三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴点A坐标为， 由题意得经过第1次变换后点A的对应点坐标为， 第2次变换后点A的对应点坐标为， 第3次变换后点A的对应点坐标为 第4次变换后点A的对应点坐标为， ……， ∴第n次变换后点A的对应点坐标为：当n为奇数时，；当n为偶数时，． ∴经过连续9次这样的变换得到，则点的对应点的坐标是． 故选：D 9．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 10．如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键． 先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解． 【详解】解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点， 第二次向右平移1个单位长度至点， 第三次向上平移1个单位长度至点， 第四次向右平移1个单位长度至点， 可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度． 是偶数，所以是经过次平移得到的， 由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为； 又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为； ． 故选D． 2、 填空题 11．如图，长方形中，，．若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形．当将长方形平移 时，两长方形的重叠部分的面积是． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质与长方形面积公式，掌握平移后对应边相等，长方形面积=长×宽是解题的关键． 先根据平移的性质确定重叠部分是长方形，且其一边长等于的长度；再利用重叠部分的面积公式求出另一边长；最后结合原长方形的边长，计算出平移的距离． 【详解】解：由平移的性质可得． ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 12．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 13．在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位长度得到点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移；根据平面直角坐标系中点平移的规律，向左平移时横坐标减少，纵坐标不变，列出等式，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度后，新点的坐标为， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 14．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：由平移的性质可知，． ，， ∴， ∴三角形的面积为． 故答案为：． 15．已知点，，，以，，三点为顶点画对边互相平行的四边形，则第四个顶点不可能在第 象限． 【答案】三 【分析】此题重点考查坐标与图形性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 首先根据已知在直角坐标系中标出点、、的位置，然后连接、、，接下来分别以、、三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断即可得到结论． 【详解】解：在坐标系中表示出点，，，如图所示： 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限； 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第一象限； 如果以线段为对角线，、为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限． 综上，第四个顶点可能在第一、第二、第四象限，不可能在第三象限． 故答案为：三． 3、 解答题 16．在等腰中，，将沿射线方向平移至的位置．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图①中，作出的中点M； (2)在图②中，作出的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）连接交于点，根据等腰三角形的判定和性质可得点M是的中点； （2）连接交于点，连接并延长交于点，点N是的中点，根据三角形中线交于一点即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 根据平移可得，， ， ，， ， ， ， ， ， 即点M是的中点； （2）解：如图，连接交于点，连接并延长交于点，点N是的中点， 根据（1）中， 可得， 是的中线， ， 是的中线， 点是中线的交点， 是的中线，即点N是的中点． 17．如图，在直角坐标系中，边长为4的等边三角形的顶点都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是_____个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是_____； (2)已知点的纵坐标为，则点的坐标为____； (3)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)4；轴 (2) (3) 【分析】（1）由点的坐标为，根据平移的性质得到沿轴向右平移 2 个单位得到，则与关于轴对称； （2）根据等边三角形的性质求出点的坐标为，再根据与关于轴对称，即可求解． （3）根据平移或对称的性质得到，而，得到，根据证得，即可证得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，边长为4， ∴点的坐标为， ∴沿轴向右平移4个单位得到； ∴与关于轴对称， 故答案为：4；轴； （2）解：∵点的坐标为，是等边三角形，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵与关于轴对称， ∴点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，∵与是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 18．如下图，将面积为的沿x轴正方向平移至的位置，相应的坐标如下图所示（a，b为常数），求： (1)点D，E的坐标． (2)四边形ACED的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 利用平移性质，由到的平移距离，确定平移后的坐标． （2） 由平移得，判定四边形为梯形，代入梯形面积公式计算． 【详解】（1）解：（1）∵沿轴正方向平移至的位置， ∴平移距离， ∴， ∴，． （2）（2）为直角三角形，面积为: 则， 由平移的性质，得， ∴四边形为梯形， ∴． 19．如下图，护城河在处直角转弯，宽度保持．从处往处，经过两座垂直于河岸的桥：，．设护城河是东西一南北方向，，两处在东西方向上相距，南北方向上相距．若有一条路可使从处往处的路程最短，求这个最短距离． 【答案】 【分析】将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽，连接，，从而将折线的长度转化成求折线的长度，进而得出当，，，四点共线时，有最小值，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽， 将点向右平移至点，使的长等于河宽，连接，． 由平移作图易得，，， 当，，，四点共线时，有最小值， 即此时的路程最短． ，两处在东西方向上相距，南北方向上相距，且河宽为， 点与点的东西距离为，南北距离为， 点与点的直线距离为， 这个最短距离为． 20．如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的综合、一次函数与几何综合和等腰直角三角形的判定和性质，学会分类讨论是解决本题的关键． （1）过点E作于F，过点C作于点G，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）根据题意分为三种情况：当点没有过y轴时；当点过y轴时没有过y轴时；当点过直线时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点E作于F，过点C作于点G，如图， ∵和均为等腰直角三角形，且，， ∴，， 由题意得，点，，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵是边上的中线， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵是向右平移个单位得到的， ∴顶点为、、， 当点没有过y轴时，如图，此时， ∴，且， 由平移得，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ； 当点过y轴时没有过y轴时，如图，此时， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ； 设直线的解析式为， 将点B和点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 设该点为K，则其坐标为， ∴， ∴当时，点和点K重合，点和点O重合， ∴当点过直线时，如图，此时， ∴， ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 综上所述，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $