精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学期末 审题人：高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选:D. 3. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 故选：D 4. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（　　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n 【答案】B 【解析】 【详解】解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2（－），所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 【考查意图】向量线性运算及共线定理. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用基本不等式将 转化为含 的形式，再代入已知等式得到关于 的不等式，最后求解不等式得出 的最小值. 【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立， 又因为 ，所以 ， 整理可得 ，解得 或 （舍去）， 所以 ，所以 ，当且仅当时等号成立． 所以 的最小值为：9. 故选：A 7. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得出周期即可得出，再代入特殊点求出. 【详解】根据函数的部分图象知， ， 所以，解得， 由图象可得且，得． 故选：C. 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造函数，分析其奇偶性与单调性，再将不等式转化为关于的不等式，最后利用函数性质求解. 【详解】令，因为所以的定义域为R，则． 因为，所以为奇函数． 函数，，在R上均为增函数，在定义域上为增函数， 所以根据复合函数的单调性，可得在R上为增函数． 等价于，即， 则，即， 解得或，则关于x的不等式的解集为． 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，以及作差法，判断选项. 【详解】对于A，当时，，所以“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D，因为，从而恒成立.故D正确． 故选：BD. 10. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 当时，函数的值域是 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据图像的变化得到的表达式，再根据三角函数的图像性质逐一判断即可． 【详解】函数的图象沿x轴向左平移个单位长度， 得到， 对于A，可以判断是偶函数，故A中说法错误； 对于B，当时，，故， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，函数的对称轴满足，也即，故C中说法错误； 对于D，当时，，可知函数在区间上单调递减， 故D中说法错误． 故选：ACD． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称, 作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决. 【详解】对于A：令是偶函数，则，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 即，即周期，故B正确； 对于C：，， 所以，故C错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出的图象与的图象， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，将代入即可求出答案. 【详解】设幂函数为，又幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 13. ______ 【答案】 【解析】 【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：. 14. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，再用三角函数值表示面积，最后应用辅助角公式结合三角函数值域求解. 【详解】作，垂足为H，交CD于E，连接OA，OB， 设，则，， ， 故， 则， 因为，所以， 故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧MN的四等分点处时，矩形ABCD的面积S最大，． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）利用诱导公式将化简，并求值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式对函数表达式进行化简，然后利用特殊角的三角函数值计算即可. （2）根据同角三角函数的关系式和切弦互化法计算即可. 【小问1详解】 因为 ，所以． 【小问2详解】 由（1）知，若，即， 因为， 所以． 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据的奇偶性求解a的值即可； （2）根据函数单调性定义证明的单调性，令，进一步得到的单调性，求出的最大值后代入不等式即可求解． 【小问1详解】 由为奇函数，则对定义域内的每一个x都有， 所以，即，所以， 若，则，其定义域关于原点不对称， 所以，且此时，定义域为，符合题意． 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 则， 任取，则， 因为，则，所以， 所以，即所以， 所以函数在上单调递减， 对，恒成立，即，得， 记函数，， 因为函数，均为减函数，则函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，所以， 因此，实数m的取值范围是． 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，室温是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为，上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，9点分时，壶中热水自然冷却到． （1）求9点起壶中水温（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数； （2）若当日小泽在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数） （参考数据：，） 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出加热阶段和冷却阶段的解析式，进而得出； （2）把事件分成冷却、加热、冷却三个阶段，分别求出对应的时间，进而求出第二次开始加热所需时间． 【小问1详解】 当时，，代入，，解得，则， 当时，冷却公式为 ，代入，，，， 即，解得，故， ． 【小问2详解】 若从降温至，根据冷却公式有，解得分钟， 经过20分钟养生壶（在保温状态下）开始第一次加热； 由（1）知，加热阶段，从加热至，代入计算得分钟； 从降温至，代入， 计算得分钟， 分钟． 43分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热． 18. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1），对称中心为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据正弦函数的对称中心公式求出对称中心； （2）先根据已知条件求出的值，再结合的范围求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值； （3）先求出的表达式，再将方程进行化简，然后通过换元法将方程转化为关于新变量的方程，最后根据方程有解求出的取值范围. 【小问1详解】 由，可得， ， 令，，则，， 故函数图象的对称中心为，． 【小问2详解】 由，可得，化简得， 因为，所以，所以， ． 【小问3详解】 由题方程有解，， 所以方程变为，,即方程有解， 设，则，所以， 因为，所以，则， 则原方程可化为在上有解， 由题知，，故方程可化为在， 所以在上单调递增，所以， 所以，故，故实数m的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）证明：对，； （2）记，，证明：对，； （3）若，直线分别与函数，，的图象的交点的横坐标为判断的大小关系，并证明． 【答案】（1） 一方面，， 另一方面，， 故对，． （2） 法一：先证，． 因为，， 且为偶函数且在上单调递减，由（1）知，， 所以，所以．（*） 再证，． 因为，， 为偶函数且在上单调递减，同样可证， 所以， （或者对于*式，用替换x，得，得）. 法二：， ，，所以． 同理，． 于是对，若， 则， 若，则， 故，． （3），证明： 令，则，于是， 因为，于是与是方程的根，其中，， 令，令，当时，， 又在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 于是．由，所以， 又因为在上单调递减可知，．从而， 又因为在上单调递增，从而，故． 【解析】 【分析】（1）先把原不等式拆成左右两个部分，再利用辅助角公式将 化为单一三角函数，通过其最大值 与 比较大小，即可得证. （2）方法一：先依托（1）的结论推出，结合余弦偶函数特性与上的单调递减性，搭配诱导公式证得；再用同理思路，借助正弦单调递增性，证出，最终确定、的表达式并比较出大小，全程以三角函数单调性、奇偶性和诱导公式为工具，以第一问结论为关键依据，分两步完成证明； 方法二：借助和差化积公式，将待比较的三角函数差式转化为乘积形式，通过分析各部分的取值范围与符号，直接证得 与 ；之后，对 与 的大小关系分情况讨论，无论哪种情况，都能推出 的最大值小于 的最大值，从而严谨证明 恒成立. （3）先对 和 分别进行反证，结合 在 上单调递减， 等性质，推出矛盾，从而得到 ；再将 转化为方程 的根问题，构造函数 ，利用复合函数单调性判断其在 上单调递减，进而得到 ，再结合 和 的单调性，最终推导出 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，， 不妨假设，因为，则， 根据单位圆上扇形面积大于构成扇形的圆弧所对弦与两半径围成的三角形面积可知，， 所以，矛盾，所以． 不妨假设，因为，则， 又，所以，矛盾，所以． 综上可知，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末 审题人：高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（　　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 9 B. 1 C. 3 D. 7. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. ， 10. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 当时，函数的值域是 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4个不同的根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知幂函数的图象过点，则___________． 13. ______ 14. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）利用诱导公式将化简，并求值； （2）若，求的值． 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）设，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，室温是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为，上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，9点分时，壶中热水自然冷却到． （1）求9点起壶中水温（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数； （2）若当日小泽在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数） （参考数据：，） 18. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及图象的对称中心； （2）若，且，求的值； （3）设，若方程在上有解，求实数m的取值范围． 19. 已知函数，． （1）证明：对，； （2）记，，证明：对，； （3）若，直线分别与函数，，的图象的交点的横坐标为判断的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $