精品解析:河北沧州市青县2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷
2026-02-02
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内容正文:
2025-2026学年度第一学期期末教学质量评估
九年级数学试卷
(总分120分,考试时间120分钟)
卷Ⅰ(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分;共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图,将绕点逆时针旋转得到,若点落在线段的延长线上,则大小为( )
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程,下列配方正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,所得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
5. 如图,是半径,是的弦,且于点,若,则弦的长是( ).
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
6. 某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是6
7. 如图是二次函数的图象,则不等式的解集是( )
A. B. 或
C. D. 或
8. 两个相似三角形的最长边分别是和,并且它们的周长之和为,那么较小三角形的周长是( )
A. B. C. D.
9. 已知点,都在反比例函数的图象上,则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. 当时, D. 当时,
10. 某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房,小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为,在小楼房楼顶处测得处的仰角为.(在同一平面内,在同一水平面上),则建筑物的高为( )米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
11. 如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,若正六边形的边长为2,那么矩形的面积是( )
A. 12 B. C. 16 D.
12. 如图1,在矩形中,,E是边上的一个动点,,交于点F,设,,图2是点E从点B运动到点C的过程中,y关于x的函数图象,则的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
卷Ⅱ(非选择题 共84分)
二、填空题(本题共4个小题;每小题3分,共12分.把答案写在题中的横线上)
13. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点为,则与轴的另一个交点的横坐标_____.
14. 已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积为____________cm2.
15. 如图,把矩形纸片沿对角线折叠,使点C落在点E处,与交于点F,若,,则的值是______.
16. 如图,D为矩形(边,分别在x,y轴的正半轴上)对角线上的点,且,经过点D的反比例函数的图象分别与,相交于点E,F,连接,,,若的面积是24,则的面积为_________.
三、解答题(共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》,《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动,在校园开辟了一块劳动教育基地,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园(靠墙的一边不需用篱笆),墙长为16米.
(1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时,求养殖园的边的长;
(2)求矩形养殖园面积的最大值.
18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎,也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动,中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别:决策类人工智能,人工智能机器人,语音及语义人工智能,视觉类人工智能,将四个类型的图标依次制成A,B,C,D四张卡片(卡片背面完全相同),将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
(1)随机抽取一张,抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______;
(2)从中随机抽取一张,记录卡片的内容后不放回洗匀,再随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率.
19. 如图,是由在平面内绕点逆时针旋转得到的,且,,连接.
(1)求证:;
(2)四边形是什么特殊的四边形?并说明理由.
20. 如图,为的直径,交于点,为上一点,延长交于点,延长至,使,连接.
(1)求证:为的切线;
(2)若且,求的半径.
21. 小明为了测量树的高度,经过实地测量,得到两个解决方案:
方案一:如图(1),测得地与树相距10米,眼睛处观测树的顶端的仰角为:
方案二:如图(2),测得地与树相距10米,在处放一面镜子,后退2米到达点,眼睛在镜子中恰好看到树的顶端.
已知小明身高1.6米,试选择一个方案求出树的高度.(结果保留整数,)
22. 如图,已知梯形中,,对角线交于点O,,点E在线段的延长线上,连接.
(1)求证:;
(2)若,求证:.
23. 如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点.
(1)求一次函数的解析式及面积;
(2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围.
(3)若点坐标轴上的一点,且满足的面积等于面积的倍,直接写出点的坐标.
24. 随着自动化设备的普及,公园中引入了自动喷灌系统.图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器,从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线,图2是该喷灌器喷水时的截面示意图.
(1)喷水口离地高度为,喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高,高度为,且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处.
①在图2中以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,求出抛物线的解析式;
②求喷灌器底端到点的距离;
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛,花坛的截面示意图为矩形(如图3),其中高为.宽为.为达到给花坛喷灌的效果,需将喷水口向上升高,使水柱落在花坛的上方边上,求的取值范围.
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2025-2026学年度第一学期期末教学质量评估
九年级数学试卷
(总分120分,考试时间120分钟)
卷Ⅰ(选择题 共36分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分;共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可.
【详解】A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C.是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
D.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意,
故选:C.
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形,理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键.
2. 如图,将绕点逆时针旋转得到,若点落在线段的延长线上,则大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是三角形的旋转,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.根据旋转的性质可得出,再根据等腰三角形的性质可求出的度数,此题得解.
【详解】解:根据旋转的性质,可得,
,
故选:B.
3. 用配方法解方程,下列配方正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解方程,根据配方法解一元二次方程,需将常数项移至右边,然后两边加上一次项系数一半的平方,形成完全平方式即可求解,掌握配方法解方程是解题的关键,
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∴,
故选:.
4. 将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,所得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查了函数图象的平移,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.按照抛物线平移的公式即可求解.
【详解】解:将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,
所得到的抛物线为.
故选:D.
5. 如图,是半径,是的弦,且于点,若,则弦的长是( ).
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理,先求出,由垂径定理可得,由勾股定理得出,即可得出答案,熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键.
【详解】解:,
,
,
是的弦,且于点,
,,
,
,
故选:C.
6. 某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是6
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.根据统计图可知,试验结果在 0.17 附近波动,即其概率,计算四个选项的概率,约为 0.17 者即为正确答案.
【详解】解:A、在"石头、剪刀、布"的游戏中,小明随机出的是"剪刀"的概率为,故A选项不符合题意;
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是;故B选项不符合题意;
C、暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球的概率为,故C选项不符合题意;
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是6 的概率为,故D选项符合题意.
故选:.
7. 如图是二次函数的图象,则不等式的解集是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集,求出点关于对称轴的对称点,结合函数图象即可得出的解集.
【详解】解:由图可知二次函数的图象的对称轴为,与y轴的交点坐标为,
由二次函数图象的对称性可知,点也在函数的图象上,
由图可知,当或时,对应的y值小于3,
因此的解集为:或.
故选:D.
8. 两个相似三角形的最长边分别是和,并且它们的周长之和为,那么较小三角形的周长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质,根据最长边分别为和确定相似比,相似三角形的周长比等于相似比,再根据周长之和为即可求解.
【详解】解:两个相似三角形的最长边分别为和,
相似比为,
较大三角形与较小三角形的周长比为:,
它们的周长之和为,
较小三角形的周长为:,
故选:B.
9. 已知点,都在反比例函数的图象上,则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. 当时, D. 当时,
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.根据反比例函数的性质,分情况讨论的取值范围,比较和的大小关系即可.
【详解】解:对于反比例函数的图象上,在各个象限内,随的增大而增大,且第二象限的函数值大于第四象限的函数值,
∵,
当时,即时,
则,
当时,即时,
则,
当时,即时,
则,
综上,只有选项D正确,
故选:D.
10. 某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房,小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为,在小楼房楼顶处测得处的仰角为.(在同一平面内,在同一水平面上),则建筑物的高为( )米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用,如图,过作于,则四边形为矩形,设,而,可得,,结合,再解方程即可.
【详解】解:如图,过作于,
依题意,
∴四边形为矩形,
∴,,
设,而,
∴,
∵,
∴,
解得:,
经检验是原方程的解,且符合题意;
∴,
故选B
11. 如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,若正六边形的边长为2,那么矩形的面积是( )
A. 12 B. C. 16 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质,解直角三角形.根据矩形和正六边形的性质可得,然后解直角三角形可得,从而得到,即可求解.
【详解】解:如图,
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,且正六边形的边长为2,
∴,,
∴,
∴,,
同理,
∴,
∴矩形的面积是.
故选:B.
12. 如图1,在矩形中,,E是边上的一个动点,,交于点F,设,,图2是点E从点B运动到点C的过程中,y关于x的函数图象,则的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象,确定当时,,即有,再证明,即可作答.
【详解】解:根据函数图象有:当时,,
此时:,
∵,
∴,
∴,
∵矩形中,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
卷Ⅱ(非选择题 共84分)
二、填空题(本题共4个小题;每小题3分,共12分.把答案写在题中的横线上)
13. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点为,则与轴的另一个交点的横坐标_____.
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查抛物线的对称性,熟练掌握抛物线对称轴的相关知识是解题的关键.根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点.
【详解】解:抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点为,
抛物线与轴的另一个交点为,即,
故答案为:3.
14. 已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积为____________cm2.
【答案】
【解析】
【分析】圆锥的侧面积=×底面半径×母线长,把相应数值代入即可求解.
【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm,母线长为5cm,
∴圆锥的侧面积=×4×5=20cm2,
故答案为:.
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,掌握相应公式是解题的关键.
15. 如图,把矩形纸片沿对角线折叠,使点C落在点E处,与交于点F,若,,则的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识,熟练掌握相关知识点是解题关键.
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程,证,再利用求出边长,从而求解即可.
【详解】解:∵折叠,
,
∵四边形是矩形,
,
,
,
,
,
在中,,
,
解得,
,
故答案为:.
16. 如图,D为矩形(边,分别在x,y轴的正半轴上)对角线上的点,且,经过点D的反比例函数的图象分别与,相交于点E,F,连接,,,若的面积是24,则的面积为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质、矩形的性质及面积的割补法.解题关键是通过设矩形顶点坐标,结合线段比例求出点D的坐标,再利用反比例函数k的几何意义和面积公式建立关系.易错点是对图形中各点坐标的推导不准确,以及面积割补时各部分面积的计算错误.
首先设矩形的,,根据得出点D的坐标为.然后利用点D在反比例函数上得到,再结合的面积求出.接着确定E、F的坐标,分别计算、、的面积,最后用矩形面积减去这三个三角形的面积,得到的面积为.
【详解】解:设矩形中,,,则.
,
.
.
∵点在反比例函数上,
.
的面积是24,
.
设F点坐标为,则,即.
.
,解得.
∵E在上,横坐标为a,代入反比例函数,得.
矩形的面积为.
.
.
.
因此,的面积为:
.
故答案为:.
三、解答题(共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》,《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动,在校园开辟了一块劳动教育基地,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园(靠墙的一边不需用篱笆),墙长为16米.
(1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时,求养殖园的边的长;
(2)求矩形养殖园面积的最大值.
【答案】(1)12米 (2)平方米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用:
(1)设养殖园的边的长为,则,根据围成的矩形养殖园面积为108平方米,即可列式计算作答.
(2)设矩形养殖园面积为,建立关于x的式子表达,化为顶点式,再结合开口方向,即可作答.
【小问1详解】
解:∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园(靠墙的一边不需用篱笆),墙长为16米.
∴设养殖园的边的长为,
则,
那么
解得
∵墙长为16米.
∴
∴养殖园的边的长为米;
【小问2详解】
解:设矩形养殖园面积为,
∴
∵
∴开口向下,在时,有最大值,且为平方米.
18. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎,也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动,中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别:决策类人工智能,人工智能机器人,语音及语义人工智能,视觉类人工智能,将四个类型的图标依次制成A,B,C,D四张卡片(卡片背面完全相同),将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
(1)随机抽取一张,抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______;
(2)从中随机抽取一张,记录卡片的内容后不放回洗匀,再随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了概率公式计算,画树状图法计算,正确选择方法是解题的关键.
(1)利用公式计算即可.
(2) 不放回型的概率计算,利用画树状图法计算即可.
【小问1详解】
一共有4种等可能性,抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性,
故抽到决策类人工智能的卡片的概率为,
故答案为:.
【小问2详解】
根据题意,画树状图如下:
一共有12种等可能性,其中,两张卡片中不含D卡片等可能性有6种.
故两张卡片中不含D卡片的概率是.
19. 如图,是由在平面内绕点逆时针旋转得到的,且,,连接.
(1)求证:;
(2)四边形是什么特殊的四边形?并说明理由.
【答案】(1)
证明:由旋转知,,,,
∵,
∴,
∴,,
在和中,
,
∴;
(2)
四边形是菱形,理由如下:
∵,
∴,
∵,,,
∴,
∴四边形是菱形.
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,菱形的判定,旋转变换等知识,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
()根据旋转的性质及角度间的关系得出,,再根据“”即可证明结论;
()根据全等三角形的性质及菱形的判定方法即可得出结果.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
20. 如图,为的直径,交于点,为上一点,延长交于点,延长至,使,连接.
(1)求证:为的切线;
(2)若且,求的半径.
【答案】(1)
证明:如图,连接,
,
,
,
,
,,
,
即,
,
是半径,
为的切线;
(2)
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质,勾股定理,熟记切线的判定定理是解题的关键.
(1)连接,根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论;
(2)设的半径,则,,在中,由勾股定理得得出方程求解即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:设的半径,则,
,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得,或舍去,
的半径为.
21. 小明为了测量树的高度,经过实地测量,得到两个解决方案:
方案一:如图(1),测得地与树相距10米,眼睛处观测树的顶端的仰角为:
方案二:如图(2),测得地与树相距10米,在处放一面镜子,后退2米到达点,眼睛在镜子中恰好看到树的顶端.
已知小明身高1.6米,试选择一个方案求出树的高度.(结果保留整数,)
【答案】树的高度为8米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题,解直角三角形的实际应用题.
方案一:作,在中,解直角三角形即可求解;
方案二:由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.
【详解】解:方案一:作,垂足为,
则四边形是矩形,
∴米,
在中,,
∴(米),
树的高度为米.
方案二:根据题意可得,
∵,
∴
∴,即
解得:米,
答:树的高度为8米.
22. 如图,已知梯形中,,对角线交于点O,,点E在线段的延长线上,连接.
(1)求证:;
(2)若,求证:.
【答案】(1)
证明:,
,
,
,
∽,
,
,,
.
(2)
证明:∽,
,
,
,,
∽,
,
,
.
【解析】
【分析】由,得,由,得,所以∽,则,即可由,,证明.
由∽,得,变形为,由,,证明∽,得,则,所以
此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识,证明∽是解题的关键.
【小问1详解】
略;
【小问2详解】
略.
23. 如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点.
(1)求一次函数的解析式及面积;
(2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围.
(3)若点坐标轴上的一点,且满足的面积等于面积的倍,直接写出点的坐标.
【答案】(1),4
(2)或
(3),,,
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,熟练掌握以上知识点并灵活运用,采用数形结合的思想是解此题的关键.
(1)将点、的坐标代入反比例函数解析式,即可得出、的值,从而得出点、的坐标,再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会,计算出直线与轴、轴的交点坐标为、,再由三角形的面积公式即可得解;
(2)由,,再结合函数图象即可得解;
(3)由题意可得,设,即,再由列出一元一次方程,解方程即可得解.
【小问1详解】
解:∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点,
将与坐标代入反比例解析式得:,,
、,
代入一次函数解析式得:
,
解得:,,
则一次函数的解析式为,
当时,,当时,则,
解得,
∴直线与轴、轴的交点坐标为、,
∴;
【小问2详解】
解:∵,,
∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或;
【小问3详解】
解:∵,
∴,
设,即,
,
∴,
解得:或,
∴,,
同理可得:,,
综上所述,点的坐标为,,,.
24. 随着自动化设备的普及,公园中引入了自动喷灌系统.图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器,从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线,图2是该喷灌器喷水时的截面示意图.
(1)喷水口离地高度为,喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高,高度为,且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处.
①在图2中以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,求出抛物线的解析式;
②求喷灌器底端到点的距离;
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛,花坛的截面示意图为矩形(如图3),其中高为.宽为.为达到给花坛喷灌的效果,需将喷水口向上升高,使水柱落在花坛的上方边上,求的取值范围.
【答案】(1)①;②
(2)
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用,待定系数法求二次函数解析式.
(1)①建立平面直角坐标系,用待定系数法求得抛物线的函数表达式;
②令,求得方程的解,根据问题的实际意义做出取舍即可;
(2)由题意可得:,,分别代入,求得的最小值和最大值,再令,即可分别求出的最小值和最大值,即可求出的取值范围;
解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
【小问1详解】
解:①以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,
如图所示:
,
设抛物线解析式为,把代入得:
,
解得:,
∴抛物线的表达式为;
②令,得,
解得:,,
∴,
∴,
∴喷灌器低端到点的距离为;
【小问2详解】
如图所示:
,
∴,
∴,,
设,
把代入得:,
解得:,
∴,
当时,,
∴此时,
∴;
设,
把代入得:,
解得:,
∴,
当时,,
∴此时,
∴,
∴使水柱落在花坛的上方边上,的取值范围为.
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