专题 19.6 二次根式的加法与减法（专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.6 二次根式的加法与减法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南楚雄·一模）若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 6．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·河北石家庄·月考）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 8．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 9．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 10．（25-26八年级上·山东济南·月考）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是 ，的倒数是 ，的绝对值是 ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 13．（25-26八年级上·浙江·假期作业）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 14．（25-26八年级下·全国·周测）若对实数，，，规定，则 ． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 16．（24-25八年级下·河南商丘·月考）不等式的解集是 ． 17．（25-26八年级下·全国·周测）新运算※，*规定如下：，． （1） ． （2）的值是 ． 18．（25-26八年级上·福建福州·期末）海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（22-23八年级上·陕西榆林·期中）若两个实数的积是1，则称这两个实数互为倒数，如，所以3与互为倒数．    (1)判断与是否互为倒数，并说明理由； (2)若实数与互为倒数，求点中纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并画出函数图象． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·福建泉州·期末）我们在学习二次根式时，常遇到，这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如：，．请你应用“分母有理化”知识，解决下面问题解答过程中出现分母含有无理式的式子： 如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点D，使得点D到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.6 二次根式的加法与减法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项中的二次根式化为最简二次根式，与是同类二次根式的，则能与合并，与不是同类二次根式的，则不能与合并． 本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能与合并；     B. 与不是同类二次根式，不能与合并；         C. 与不是同类二次根式，不能与合并；     D. ，与是同类二次根式，能与合并． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·周测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 4．（2025·云南楚雄·一模）若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可． 【详解】， 当时，原式， 故选：B． 5．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 6．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 7．（22-23八年级下·河北石家庄·月考）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【答案】B 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 10．（25-26八年级上·山东济南·月考）二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是 ，的倒数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、倒数、绝对值的运算，熟练掌握平方根的定义、倒数的化简方法（分母有理化）、绝对值的性质是解题的关键．分别根据平方根、倒数、绝对值的定义，依次计算三个空的结果． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是； ∵，， ∴的倒数是； ∵， ∴的绝对值是 故答案为：；；． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，二次根式的加减，正确的计算是解题的关键． 根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；先判断每个绝对值表达式的正负，再化简计算． 【详解】解：∵ ， ∴，． ∴原式 ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江·假期作业）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·全国·周测）若对实数，，，规定，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键； 根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算． 【详解】解：由题可知： ∴ 故答案为： ． 15．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理，根据，得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：>． 16．（24-25八年级下·河南商丘·月考）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，分母有理化，熟练掌握解题步骤和运算法则是解题的关键． 根据解一元一次不等式的方法和步骤即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·全国·周测）新运算※，*规定如下：，． （1） ． （2）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． （1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【详解】解：（1）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． （2）由定义，，代入，， 得 ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·福建福州·期末）海伦-秦九韶公式：三角形的面积，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三角形三边的长，p表示周长的一半，即．已知在中，，，，则可利用公式计算的面积为 ． 【答案】30 【分析】根据海伦-秦九韶公式，需先计算三角形的半周长 p，再代入公式求解面积． 本题考查了二次根式的运算，解题关键是明确题意，代入数值后准确计算． 【详解】解：由题意，设 ，，， 则， ∴ ． 故答案为 30． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，再计算减法； （2）先算乘方和除法，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式： （1）先将二次根式化为最简二次根式，再计算； （2）用完全平方公式展开再计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（22-23八年级上·陕西榆林·期中）若两个实数的积是1，则称这两个实数互为倒数，如，所以3与互为倒数．    (1)判断与是否互为倒数，并说明理由； (2)若实数与互为倒数，求点中纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并画出函数图象． 【答案】(1)互为倒数，理由见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）根据倒数的定义判断即可； （2）根据倒数的定义列式计算求出的关系， 再根据一次函数的性质作出图像即可． 【详解】（1）解：互为倒数．理由如下： ∵， ∴与互为倒数； （2）∵与互为倒数， ∴， ∴，即（、均不小于0）． 函数图像如图所示：    【点睛】本题主要考查了倒数、运用平方差公式进行运算、二次根式的应用以及一次函数图像等知识，熟练掌握倒数的定义，并运用平方差公式进行运算时解题关键． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·福建泉州·期末）我们在学习二次根式时，常遇到，这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如：，．请你应用“分母有理化”知识，解决下面问题解答过程中出现分母含有无理式的式子： 如图，在中，． (1)尺规作图：在上作一点D，使得点D到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的值． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，勾股定理，分母有理化等知识，解题的关键是学会分母有理化解决问题． （1）作射线平分交于点，点即为所求； （2）过点作于点．根据，求出，从而得，，由勾股定理得．所以，从而求得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：过点作于点． 平分，，， ， ∵，，， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∵． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $