专题 19.5 二次根式的乘法与除法（专项练习）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.5 二次根式的乘法与除法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 解：∵， 又∵， ∴ ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定义即可求解． 解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，通过算术平方根的性质和二次根式运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 解：∵，∴A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵，∴C正确，符合题意； ∵，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 解： ． 故选：D． 6．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 解： ， 又， ． 故选：C． 7．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 8．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的除法，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再设，然后用分别表示出与，再求出的值． 解：由题意得，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，无理数的估算，二次根式的乘法运算，由得，估算出，可得，再根据二次根式的运算法则可得． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和为两个连续的正整数， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，已知四边形是边长为2的正方形，，则数轴上点P所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，实数与数轴． 连接，根据勾股定理求出其长度， ，再减1求相反数即为点P表示的数． 解：如图，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 解：， 故答案为． 12．（25-26八年级上·上海静安·期中）化简：= ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，由于 ，被开方数 ，平方根有意义．化简时，将根号内的表达式变形，利用二次根式的性质和绝对值的意义进行化简． 解：因为 ，所以 ， ∴， ∵，∴， ∴ 故答案为：． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）设，请用含有的式子表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 直接根据作答即可． 解：∵，， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解． 解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴ ， ， 解得 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，斜边上的高交于点D，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，由勾股定理可得，，，则可建立方程，解方程即可得到答案． 解：设， ∵，， ∴； ∵斜边上的高交于点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案：． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线分别交，于点D，E，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，化为最简二次根式，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理求出即可求出答案． 解： ∵， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算、负指数幂及零次幂，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据负指数幂、零次幂及实数的运算可进行求解； （2）根据二次根式的乘除法可进行求解． （1）解：原式； （2）解：原式． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于对二次根式的化简能力； （1）利用二次根式的性质化简并计算即可． （2）利用二次根式的性质化简并计算即可． （1）解： （2）解： 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·福建福州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． （1）解： ． （2）解：根据二次根式非负性得出， ． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先利用平方差公式进行因式分解，然后把，代入即可求解； （）先提取公因式进行分解，然后把，代入即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 23．（本小题满分10分） （25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． （1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广东江门·月考）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解． 解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.5 二次根式的乘法与除法（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 6．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）设，，则可以表示为() A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 8．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，已知四边形是边长为2的正方形，，则数轴上点P所表示的数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简： ． 12．（25-26八年级上·上海静安·期中）化简：= ． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）设，请用含有的式子表示 ． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 15．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则 ． 16．（25-26八年级上·四川雅安·期中）若，则 ． 17．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，斜边上的高交于点D，若，，则的长度为 ． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线分别交，于点D，E，连接．若，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1) (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1) (2) 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·福建福州·专题练习）计算： (1)； (2)． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·甘肃天水·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 23．（本小题满分10分） （25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广东江门·月考）海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $