专题 19.3 二次根式的加法与减法（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 19.3 二次根式的加法与减法（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】同类二次根式 1 ★【题型 1】同类二次根式的判断 2 ★【题型 2】同类二次根式中的参数 2 【知识点二】合并同类二次根式 3 ★【题型 3】合并同类二次根式 3 【知识点三】二次根式的加减 3 ★【题型 4】二次根式的加减 4 ★★【题型 5】二次根式的加减 4 【知识点四】二次根式的混合运算 5 ★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 5 ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 5 ★★【题型 8】二次根式的化简求值 6 二.中考真题 6 （一）单选题（6题） 6 （二）填空题（6题） 7 （三）解答题（4题） 7 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 2.合并同类二次根式：把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) ★【题型 1】同类二次根式的判断 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（23-24八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． ★【题型 2】同类二次根式中的参数 【例题2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（23-24八年级上·上海金山·月考）最简根式与是同类二次根式，则 ． 【知识点二】合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) ★【题型 3】合并同类二次根式 【例题3】（24-25八年级下·上海·假期作业）合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在下列二次根式中：，，，， （1）能与合并的是 ； （2）能与合并的是 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·全国·随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； 【知识点三】二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. ★【题型 3】二次根式的加减 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． ★【题型 4】二次根式的加减 【例题4】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． ★★【题型 5】二次根式的加减 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）-（4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． 【变式1】（2025八年级上·福建福州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级下·重庆永川·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【知识点四】二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. ★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）计算： ． 【变式2】（25-26八年级上·天津红桥·期末）计算的结果等于 ． ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式2】（25-26八年级上·北京平谷·期末）计算： (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）计算： (1)； (2) ★★【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【变式1】（2026九年级·全国·专题练习）当时，式子的值是 ． 【变式2】（24-25九年级上·青海玉树·期中）已知，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 8．（2023·江苏南京·中考真题）计算 的结果是 ． 9．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 10．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ． 11．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 12．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 14．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 15．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 16． （2025·山东德州·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 19.3 二次根式的加法与减法（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】同类二次根式 1 ★【题型 1】同类二次根式的判断 2 ★【题型 2】同类二次根式中的参数 3 【知识点二】合并同类二次根式 5 ★【题型 3】合并同类二次根式 5 【知识点三】二次根式的加减 7 ★【题型 4】二次根式的加减 9 ★★【题型 5】二次根式的加减 11 【知识点四】二次根式的混合运算 14 ★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 15 ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 16 ★★【题型 8】二次根式的化简求值 19 二.中考真题 22 （一）单选题（6题） 22 （二）填空题（6题） 24 （三）解答题（4题） 26 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 2.合并同类二次根式：把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) ★【题型 1】同类二次根式的判断 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）（2）（3）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （1）解：∵， ∴与是同类二次根式； （2）解：∵， ∴与是同类二次根式； （3）解：∵， ∴与不是同类二次根式． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二次根式的化简，判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后比较被开方数是否相同，据此判断各选项即可． 解：选项A：，， 被开方数均为2，是同类二次根式； 选项B： 已是最简根式，， 被开方数均为7，是同类二次根式； 选项C： ，，被开方数均为3，是同类二次根式； 选项D： ， 被开方数为3；， 被开方数为6，不是同类二次根式； 故选D． 【变式2】（23-24八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同． 把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断． 解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式； B、与被开方数相同，是同类二次根式； C、与被开方数不同，不是同类二次根式； D、与，被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是否与相同，只有D选项化简后为，符合题意． 同类二次根式需化简后比较被开方数，化简为，与被开方数相同． 解：∵， ∴与的被开方数均为3， 故与是同类二次根式． 故选：D． ★【题型 2】同类二次根式中的参数 【例题2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 【变式1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【答案】5 【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解即可． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴当时，，符合最简二次根式的定义． 故答案为5． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知二次根式与化简后可以合并，则符合条件的正整数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，两个二次根式合并的条件是化简后为同类二次根式，先将化简为，由题意可得必须能化简为（为正整数）的形式，即是2乘以一个完全平方数，据此解答即可． 解：∵，且二次根式与化简后可以合并， ∴可化为（为正整数），即， 又∵a为正整数， ∴当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，(不合题意，舍去)， ∴符合条件的a有21，15，5，共3个． 故选：C． 【变式3】（23-24八年级上·上海金山·月考）最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 【知识点二】合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) ★【题型 3】合并同类二次根式 【例题3】（24-25八年级下·上海·假期作业）合并下列各式中的同类二次根式并计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在下列二次根式中：，，，， （1）能与合并的是 ； （2）能与合并的是 【答案】 ， 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：，，，，， ∴（1）能与合并的是； （2）能与合并的是，． 故答案为：（1）；（2），． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，同类二次根式，几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，据此进行求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项正确； 故选：D． 【变式3】（23-24八年级下·全国·随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． （1）直接合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； 【详解】（1） ； （2） ； 【知识点三】二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　（1）将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　（3）合并同类二次根式. ★【题型 3】二次根式的加减 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键. 通过直接计算每个选项，验证其正确性即可. 【详解】解：A、∵ > ， ∴A错误，不符合题意； B、∵ ≠ ， ∴B错误，不符合题意； C、∵ = = , ∴C正确，符合题意； D、∵ = , = , ∴ = , 则 = ≠ 1， ∴ D错误，不符合题意. 故选：C. 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，选项计算正确，符合题意． C、，选项计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，化简绝对值，算术平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，以及去括号，再运算加减法，即可作答． （2）先化简算术平方根，立方根，运算乘方以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为 ：． ★【题型 4】二次根式的加减 【例题4】（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并； （1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减，正确化简是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，正确化简二次根式是解题的关键． （1）（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ★★【题型 5】二次根式的加减 【例题5】（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）-（4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】（2025八年级上·福建福州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将二次根式化简后再合并即可得到答案； （2）原式分别计算算术平方根、立方以及绝对值，然后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级下·重庆永川·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的化简，熟练掌握二次根式的化简与运算规则是解题的关键． （1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）把二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式； （3）依次计算二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，最后合并； （4）先化简二次根式、计算二次根式乘法、展开完全平方公式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则计算即可求解； （2）根据实数混合运算的法则计算即可求解． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 【知识点四】二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. ★【题型 6】二次根式的加减乘除混合运算 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再计算加减即可； （2）先将各二次根式化简，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式．先根据积的乘方得到，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·天津红桥·期末）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的运算规则和完全平方公式．使用完全平方公式展开各项，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． ★★【题型 7】二次根式的加减乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级上·河北邢台·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则和灵活运用乘方公式是解题关键． （）先根据二次根式的性质化简，分母有理化进行计算，最后合并计算即可； （）先利用完全平方公式展开和分母有理化计算，零次幂，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的性质化简括号内的，然后根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解； （3）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） （4） ． 【变式2】（25-26八年级上·北京平谷·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的加减运算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【变式1】（2026九年级·全国·专题练习）当时，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，先对式子进行化简，然后将的值代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2】（24-25九年级上·青海玉树·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．由已知条件得到，则根据二次根式的性质化简得原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， 当时， 原式 ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 5．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 6．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 8．（2023·江苏南京·中考真题）计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．（2024·山东淄博·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2025·吉林·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 14．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 15．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 16． （2025·山东德州·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $