精品解析：江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

无锡市第三高级中学高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 3. 已知，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】当时，则，但是，不是充分条件， 当时，因为，，所以，即， 当且仅当等号成立，所以是必要条件， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 5. 在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先求解和中含的项的系数，然后求和可得答案. 【详解】因为中只有和中含的项， 的含的项为，的含的项为， 所以的展开式中含的项的系数是. 故选：C. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而结合双曲线的定义得，，，，进而在，结合余弦定理求得，进而得，再求离心率即可. 【详解】解：如图，设，因为, 所以， 由双曲线的定义得：， 所以， ，，，， 所以，在中，， 在中， 因为， 所以，即， 所以 故选：B 8. 数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，数列是以1为首项，公差为4的等差数列，，设，可得是递减数列，可得的最大值，代入可得答案. 【详解】解：由题意：数列满足，，可得且， 所以数列是以1为首项，公差为4的等差数列，可得，，，设， 则，所以是递减数列，，即， 所以，可得，又因为,故的最小值为10， 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列前n项的和及数列与不等式的综合，综合性大，属于难题. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为，其平均数为，标准差为，极差为，第80百分位数为；第二组数据为，，，…，.则下列说法正确的是（ ） A. 第一组数据去掉，，其剩余数据的平均数和极差都比原来小 B. 第二组数据的平均数为 C. 第二组数据的第80百分位数为 D. 第二组数据的标准差为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题可根据平均数、标准差、极差、百分位数的性质，逐一分析选项. 【详解】对于A，第一组数据去掉，，剩余数据平均数可能变小，也可能不变， 所以不能确定其平均数一定比原来小，故A错误； 对于B，第一组数据平均数为，第二组数据是， 则第二组数据平均数为，故B正确； 对于C，第一组数据第80百分位数为，第二组数据是， 则第二组数据第80百分位数为，故C正确； 对于D，第一组数据标准差为，第二组数据是， 则第二组数据标准差为，故D错误. 故选：BC 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 若角的终边过点，则； B. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数； C. 对任意，恒成立； D. 是函数的一条对称轴. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据任意角三角函数值的定义可得，再结合倍角公式运算求解；对于B：根据图象变换分析判断即可；对于C：构造，利用导数可证，再结合正切函数性质分析判断；对于D：根据对称轴与最值点之间的关系分析判断. 【详解】对于选项A：若角的终边过点， 则，， 所以，故A正确； 对于选项B：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，故B错误； 对于选项C：设，则， 可知在内单调递增，则，即； 又因为，则，可得， 所以对任意，恒成立，故C正确； 对于选项D：因为为最大值， 所以是函数的一条对称轴，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 球的体积为 C. 半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D. 球O被平面截得的截面圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题可根据直三棱柱的性质，结合线面角、外接球体积、内切球半径、截面圆面积的相关公式逐一分析选项. 【详解】对于A，因，且平面， 故 平面 ，是直线 与平面 所成角， 在中，，则 ，故正确. 对于B，如图，设分别为的中点，连接， 因点是的外心，由对称性，可知该三棱柱的外接球球心 为的中点， 故 ，则球的半径为，球的体积为 ，故 正确； 对于C， 内切圆半径 ，因为 1 ，所以 ， 即半径为 的球不能放入该直三棱柱的内部，故错误； 对于D，由题可得 ， 所以 ，， 设点 到平面 的距离为 ，斜边上的高为， 由 ，得 ，解得 ， 则球被平面截得的截面圆半径 ， 从而所求截面圆面积为 ，故正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知向量与的夹角为，，，则___________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式以及运算法则即可求解. 【详解】， 又， 所以，则. 故答案为：2 13. 已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导判断单调性，求出最小值，进而求得范围. 【详解】令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 14. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【答案】63 【解析】 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为：  . 故答案为：63. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关，更优的抽样方法是分层抽样 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率进行求解即可； （2）根据数据计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较进行判断. 【小问1详解】 抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人， 频率为，所以的估计值是. 【小问2详解】 列联表如下： 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 ，所以根据小概率值的独立性检验， 认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异， 因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A的大小； （2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先根据正弦定理化边为角，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得，即得结果， (2)根据，利用向量的模以及向量数量积、余弦定理化简求得，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】解:（1）由正弦定理知，所以, 即 所以，化简得 ， 因为中，，所以，即， 又， 所以 （2）因为， 所以 ， 由，解得 所以的面积 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 17. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）① ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②略 18. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． （1）求动点的轨迹； （2）已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】（1）曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①；②是，． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的轨迹方程，再根据方程描述其轨迹. （2）①设直线方程为，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再表示出，，利用表示，化简即可. ②用，表示出，将化简即可. 【小问1详解】 由题意： . 所以曲线的方程为：． 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. 【小问2详解】 ①设直线方程为，，，， 如图： 由得， ， 所以，. 因为，，且成等比数列，， ， 又，所以，解得． ②， ， 为定值． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明: 由（2）可知，当时，，即当且仅当时取等号. 令，则，即. 将两边同时乘以，可得. 所以. 根据对数的运算法则可得： . 所以. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在处的切线斜率和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导并化简，构造新函数，讨论的范围判断函数的单调性，进而得到结果. （3）令，得，利用累加法求和结合对数的运算法则证明即可. 【小问1详解】 当时，，， 对函数求导得 所以，而. 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 对求导，可得：. 令，其对称轴为. 当时，的对称轴，且. 所以当时，，即， 所以在上单调递减，所以满足题意. 当时，的对称轴，且， 所以存在，使得， 当时，，即，单调递增， 所以，不满足题意， 因此，的取值范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第三高级中学高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 7. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为，其平均数为，标准差为，极差为，第80百分位数为；第二组数据为，，，…，.则下列说法正确的是（ ） A. 第一组数据去掉，，其剩余数据的平均数和极差都比原来小 B. 第二组数据的平均数为 C. 第二组数据的第80百分位数为 D. 第二组数据的标准差为 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 若角的终边过点，则； B. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数； C. 对任意，恒成立； D. 是函数的一条对称轴. 11. 已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 球的体积为 C. 半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D. 球O被平面截得的截面圆的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知向量与的夹角为，，，则___________ 13. 已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 14. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A的大小； （2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积． 17. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． （1）求动点的轨迹； （2）已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $