江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

无锡市第三高级中学高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 7. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为，其平均数为，标准差为，极差为，第80百分位数为；第二组数据为，，，…，.则下列说法正确的是（ ） A. 第一组数据去掉，，其剩余数据的平均数和极差都比原来小 B. 第二组数据的平均数为 C. 第二组数据的第80百分位数为 D. 第二组数据的标准差为 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 若角的终边过点，则； B. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数； C. 对任意，恒成立； D. 是函数的一条对称轴. 11. 已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 球的体积为 C. 半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D. 球O被平面截得的截面圆的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 已知向量与的夹角为，，，则___________ 13. 已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 14. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A的大小； （2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积． 17. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． （1）求动点的轨迹； （2）已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 无锡市第三高级中学高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】63 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关，更优的抽样方法是分层抽样 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）① ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 【18题答案】 【答案】（1）曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①；②是，． 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明: 由（2）可知，当时，，即当且仅当时取等号. 令，则，即. 将两边同时乘以，可得. 所以. 根据对数的运算法则可得： . 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $