精品解析：上海市上海师范大学附属嘉定高级中学2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试卷

上师嘉高2025学年第一学期高二年级12月质量检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：余家宸 一、填空题（本题满分54分，共有12个小题，1－6每小题4分，7－12每小题5分） 1. 直线的斜率为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率. 【详解】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为. 故答案为：2 2. 已知球的半径为2，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可求解. 【详解】球的半径为2，则球的表面积， 故答案为： 3. 抛物线的焦点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的性质即可得出答案. 【详解】由抛物线方程知，抛物线焦点在y轴上， 由，得，所以焦点坐标为． 故答案为：. 4. 圆的过点的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解. 【详解】圆心，因为，所以在圆上， 则直线与切线垂直，, 所以切线的斜率为， 由点斜式整理得， 故答案为: . 5. 设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得. 【详解】 由椭圆可得， 由椭圆的定义可知， 故， 故答案为：12 6. 已知圆与圆内切，则实数的值为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 7. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故答案为：. 8. 在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则，, 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 9. 已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的余弦值为_______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据离心率得出，进而得出渐近线的倾斜角，最后得出渐近线的夹角余弦即可. 【详解】双曲线的离心率为， 则，双曲线两条渐近线为，则双曲线两条渐近线的倾斜角为， 则双曲线两条渐近线的夹角为，所以双曲线两条渐近线的夹角的余弦值为. 故答案为：. 10. 已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先表示圆上的点到直线 的距离，求出圆心到直线的距离，利用圆C上的点到直线 的距离的取值范围为即可求解. 【详解】表示圆上的点到直线 的距离， 圆圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为. 所以直线与圆相离，所以圆C上的点到直线 的距离的取值范围为， 即. 故答案为：. 11. 美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的长轴为,短轴为，由题意可求得的关系，结合椭圆的离心率计算即可. 【详解】设椭圆的长轴为,短轴为, 由“切面”是一个椭圆，且“切面”所在平面与底面成角， 得到，解得， 所以. 故答案为：. 12. 正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个顶点的坐标，设，然后将的坐标表示出来，利用三点共线列出等式，求出的坐标，进而求出两点的距离. 【详解】因为正四棱台，如图建立空间直角坐标系， 则. 因为，所以棱台的高为. 所以. 因为是的中点，所以. 设，因为. 所以. 因为三点共线，所以满足. 因为，， 则有，解得. 所以，所以. 故答案为：. 二、选择题（本题满分18分，共有4个小题，13－14每小题4分，15－16每小题5分） 13. 已知随机事件互斥，且，，则等于（ ） A. B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 14. 已知直线，直线，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，解出值后再验证即可. 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上， . 故选：B. 15. 若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【详解】解：当直线斜率存在时，设直线L：y=k（x-3），代入双曲线方程化简得（4-9k2）x2+54k2x-81k2-36=0 要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等， ∴4-9k2=0，或△=0（不成立），解得k=± 当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点， 故这样的直线有3条， 故选C 16. 设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－3k）2＝2k4 （k为正整数），有以下两个命题：①所有的圆均不经过原点 ②存在一条定直线与所有的圆均不相交. 下列判断正确的是（ ） A. ①，②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①，②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】将原点代入圆的方程，方程无解可判断①为真命题，写出圆心、半径，当取无穷大时可判断②,据此即可得解． 【详解】将代入圆的方程，则有，即（）， 化简可得，（），方程无解，故所有的圆均不经过原点，①为真命题； 根据题意得：圆心坐标为，半径为， 若取无穷大，则圆的半径无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故②为假命题. 故选：B 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，） 17. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. （1）写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； （2）设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 【答案】（1） 从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间 ，共个样本点. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）列举法写出样本空间，得到样本点个数； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，，共1个样本点， 所以. 【小问3详解】 设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，， 平面，为的中点．                 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： ∵平面，平面，∴， ∵四边形为矩形，∴，又，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 在中，，E为中点，∴ ∵，平面，平面，∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理分别证明，，即可证得结论； （2）利用空间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值即可 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 由（1）知：平面， ∴为平面的一个法向量，，. 记直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. （1）求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； （2）设，求的面积. 【答案】（1），和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，得出即可求解； （2）利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，即， 所以，， 所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即和. 【小问2详解】 如图， 设，， 由双曲线的定义可得：，则有，① 又由，则有，② 联立①②解可得， 则△的面积. 20. 在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线. （1）若点在上，且，求点的坐标； （2）设抛物线的焦点为，点，若是上的任意一点，求的最小值； （3）已知过点的直线交抛物线于两点，，求直线的方程. 【答案】（1）或； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立抛物线和即可求出； （2）由抛物线的定义，再数形结合可得； （3）设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及弦长公式求解. 【小问1详解】 因为，所以点在圆上， 联立，解得或，则或； 【小问2详解】 由题意得，准线方程为， 过点作，垂足为 由抛物线的定义可知，等号成立时三点共线， 则的最小值为； 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率不为，故设， 联立，得， 设，则， 则 ， 则解，得（负值舍去），则， 故直线的方程为. 21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且椭圆经过点，点为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点，点，求的取值范围； （3）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于不同的两点，且直线不与坐标轴垂直，设直线的斜率分别为，试探究：是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点，代入椭圆方程求解即可； （2）设点,由,根据题意和椭圆方程可得，再根据二次函数性质求解范围； （3）直线的方程为，，联立直线和椭圆方程得，由得，再根据韦达定理化简即可. 【小问1详解】 由椭圆过点，可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，设点,由,可得 所以， 由，得， 所以. 设，由，得，且对称轴， 所以在，， 因为，， 所以在的值域为，故的取值范围是. 【小问3详解】 由题意知椭圆右焦点，左右顶点分别为, 设直线的方程为，，联立， 消去得，故. 由，得， 即， 代入， 得，再代入， 得， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上师嘉高2025学年第一学期高二年级12月质量检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：余家宸 一、填空题（本题满分54分，共有12个小题，1－6每小题4分，7－12每小题5分） 1. 直线的斜率为____________. 2. 已知球的半径为2，则球的表面积为__________. 3. 抛物线的焦点坐标为_____． 4. 圆的过点的切线方程为___________. 5. 设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 6. 已知圆与圆内切，则实数的值为________. 7. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为，则这个圆锥的体积为___________． 8. 在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 9. 已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的余弦值为_______． 10. 已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 11. 美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________． 12. 正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________． 二、选择题（本题满分18分，共有4个小题，13－14每小题4分，15－16每小题5分） 13. 已知随机事件互斥，且，，则等于（ ） A. B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 14. 已知直线，直线，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 1或 15. 若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 16. 设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－3k）2＝2k4 （k为正整数），有以下两个命题：①所有的圆均不经过原点 ②存在一条定直线与所有的圆均不相交. 下列判断正确的是（ ） A. ①，②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①，②均为假命题 三、解答题（本大题满分78分，共有5题，） 17. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，）、现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）. （1）写出这个随机试验的样本空间，并写出样本点的个数； （2）设事件为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，， 平面，为的中点．                 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线的实轴长为8，焦距为10，两个焦点分别为，为双曲线上一点. （1）求双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线方程； （2）设，求的面积. 20. 在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线. （1）若点在上，且，求点的坐标； （2）设抛物线的焦点为，点，若是上的任意一点，求的最小值； （3）已知过点的直线交抛物线于两点，，求直线的方程. 21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且椭圆经过点，点为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点，点，求的取值范围； （3）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于不同的两点，且直线不与坐标轴垂直，设直线的斜率分别为，试探究：是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $