2.3 一元一次不等式与一次函数 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 3 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 1 素养目标 1.学会使用图象法解一元一次不等式． 2.理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系，在类比观察中领悟数形结合思想，发展创新能力． 2 教学重难点 重点：理解一次函数图象与一元一次不等式的关系，学会使用图象法解一元一次不等式． 难点：能够运用一元一次不等式与一次函数的关系解决实际问题． 3 导入新课 什么叫作一元一次不等式? 不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的不等式,叫作一元一次不等式. 什么叫作一元一次方程? 在一个方程中,只含有一个未知数,且方程中的代数式都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程. 一次函数的概念是什么? 如果y=kx+b(k,b是常数且k≠0),那么y就叫作x的一次函数. 4 回答下列问题，回忆一元一次方程与一次函数的关系。 1.解方程 2x-5=0。 2x=5 x=2.5 求方程 kx+b=0的____ 2.一次函数 y=2x-5，当x取何值时，函数值为0。 当y=0时 2x-5=0 x=2.5 一次函数 y=kx+b的函数值为___时，求相应_________的值 3.一次函数 y=2x-5的函数图象与x轴交点横坐标是_____。 直线 y=kx+b与_____交点的___坐标 解 0 自变量x 2.5 x轴 横 数 形 知识回顾 新知探究 任务一:探究一次函数和一元一次不等式的关系 函数y =2x-5的图象如图所示,观察函数图象回答下列问题: (1)x取什么值时,2x-5=0? 当2x-5=0时,即y=0,所以x=2.5. 所以,当x=2.5时,2x-5=0. (2)x取哪些值时,2x-5>0? 由函数图象可知,当2x-5>0时,有y>0,此时函数图象在x轴上方. 所以,当x>2.5时,2x-5>0. O x y 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y2x－5 A(2.5，0) 6 新知探究 函数y =2x-5的图象如图所示,观察函数图象回答下列问题: (3)x取哪些值时,2x-5<0? 由函数图象可知,当2x-5<0时,有y<0,此时函数图象在x轴下方. 所以,当x<2.5时,2x-5<0. (4)x取哪些值时,2x-5>1? 由当2x-5>1时,有y>1,那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴,这条直线与y =2x-5相交于点(3,1),所以,当x>3时,2x-5>1. O x y 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y2x－5 A(2.5，0) 7 新知探究 【尝试思考】(1)如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y<0? 思路一:运用函数图象解不等式. 作一次函数y=-2x-5的图象如图所示,由函数图象可知,当x>-2.5时,y<0. O x y 1 2 3 -4 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y-2x－5 B(-2.5，0) 8 新知探究 【尝试思考】(1)如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y<0? 思路二:将函数问题转化为不等式问题. 解不等式-2x-5<0,得x>-2.5. ∴当x>-2.5时, y<0. 9 新知探究 【尝试思考】(2)如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y<1? 思路一:运用函数图象解不等式. 由函数图象可知,当x>-3时,y <1. O x y 1 2 3 -4 -5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y-2x－5 B(-2.5，0) 10 新知探究 【尝试思考】(2)如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y<1? 思路二:将函数问题转化为不等式问题. 解不等式-2x-5<1,得x>-3. ∴当x>-3时,y<1. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 11 1.教材尝试·思考变式 [2025天津河东区期末]如 图，直线分别交坐标轴于 ， 两点，则关于的不等式 的解集 是( ) A A. B. C. D. 【解析】 根据题意， 即函数 的函数值大于0，对应函数图象在 轴 上方，对应的自变量的取值范围为，故不等式 的解集是 。 跟踪练习 12 新知探究 任务二:应用一元一次不等式和一次函数解决实际问题 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m.列出函数关系式,在同一平面直角坐标系中画出函数图象,观察函数图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20 m处?谁先跑过100 m处? 13 新知探究 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m.列出函数关系式,在同一平面直角坐标系中画出函数图象,观察函数图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20 m处?谁先跑过100 m处? 设兄弟俩赛跑的时间为x s,哥哥跑过的路程为y1 m,弟弟跑过的路程为y2 m.根据题意,得y1=4x,y2=3x+9.函数图象如图所示.由图象可得 (1)9 s前弟弟跑在哥哥前面. O x y 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 27 36 y1=4x y2=3x+9 14 新知探究 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m.列出函数关系式,在同一平面直角坐标系中画出函数图象,观察函数图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20 m处?谁先跑过100 m处? 设兄弟俩赛跑的时间为x s,哥哥跑过的路程为y1 m,弟弟跑过的路程为y2 m.根据题意,得y1=4x,y2=3x+9.函数图象如图所示.由图象可得 (2)9 s后哥哥跑在弟弟前面. O x y 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 27 36 y1=4x y2=3x+9 15 新知探究 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m.列出函数关系式,在同一平面直角坐标系中画出函数图象,观察函数图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20 m处?谁先跑过100 m处? 设兄弟俩赛跑的时间为x s,哥哥跑过的路程为y1 m,弟弟跑过的路程为y2 m.根据题意,得y1=4x,y2=3x+9.函数图象如图所示.由图象可得 (3)弟弟先跑过20 m处,哥哥先跑过 100 m处. O x y 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 27 36 y1=4x y2=3x+9 20 16 还可以用“代数法”解决： 哥哥： y1=4x，弟弟： y2=3x+9 . (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20m处?谁先跑过100m处? 当4x=20时，x=5，当3x+9=20时，x=. 当4x=100时，x=25，当3x+9=100时，x=. 即4x>3x+9，解得x>9. 即4x<3x+9，解得x<9. ∴弟弟先跑过20m. ∴哥哥先跑过100m. 利用一次函数的图象可解一元一次不等式， 反过来通过解一元一次不等式可确定相应一次函数值的范围对应的自变量的取值范围， 其实质是“数”题“形”解，“形”题“数”解. 其具体对应关系如下： 直线y= ax+b在x轴上方(或 下方)时自变量的取值范围. 求ax+b>0(或<0) (a， b是常数，a≠0)的解集. kx+b>0的解集为x>c； kx+b<0的解集为x<c. O c x y y=kx+b 一元一次不等式与一次函数的关系： O m x y y=kx+b y=a 一元一次不等式与一次函数的关系： kx+b>a的解集为x>m； kx+b<a的解集为x<m. O n x y y=k1x+b1 y=k2x+b2 一元一次不等式与一次函数的关系： k1x+b1>k2x+b2的解集为x>n； k1x+b1<k2x+b2的解集为x<n. 1.教材随堂练习变式 [2025九江期末]一次函数 与 的图象如图所示，则 的解集为( ) C A. B. C. D. 【解析】 由题中图象可知，两函数图象的交点为 ，当时，函数 的图象在函数 图象的上方，所以的解集为 。 跟踪练习 22 2. [2025成都锦江区期末]如图，直线 经 过点和点，直线经过点 ，则 关于的不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 【解析】 观察题中图象可知，当 时，直线 在直线 的下方。因为 ,所以，所以关于 的不 等式的解集为 。 23 1. 函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示， 则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为（　D　） A. x＞0 B. x＜0 C. x＞2 D. x＜2 D 课堂练习 2.[2025黄冈期末]如图，直线 与直线 相交于点，则关于 的不 等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 【解析】 直线过点， ， ，，结合题中函数图象，可知关于 的不等式的解集是 。 25 3. （教材P69习题T2变式）如图，l1反映了某公司一种医疗器 械的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司这种医疗 器械的销售成本与销售量之间的关系.当销售收入大于销售成 本时，该医疗器械才开始赢利.根据图象，下列判断错误的是 （　A　） A A. 当销售量为4台时，该公司赢利4万元 B. 当销售量多于4台时，该公司才开始赢利 C. 当销售量为2台时，该公司亏本1万元 D. 当销售量为6台时，该公司赢利1万元 4. 如图，正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝ x＋b的图象交于 点P. 下列说法错误的是（　D　） D A. a＜0，b＞0 B. 关于x的方程（ －a）x＋b＝0的解为x＝－2 C. 当x＞0时，y1y2＜0 D. 关于x的不等式组0＜ax＜ x＋b的解集是－2＜x≤0 5.[2025张家口万全区期末]如图，直线 与直线交于点 ，给出 下列结论：，；②关于 的方程 的解为；③关于 的不等式 的解集为；④直线 上有两 ①②④ 点,，若，则 。其中正确结论的序号是 ________。 28 【解析】 直线经过第一、二、四象限，， ，故①正 确； 直线与直线交于点，点的横坐标为3， 关于 的方程 的解为，故②正确；根据题中函数图象可知，关于 的不等式的解集为，即不等式 的解 集为，故③错误；根据题中函数图象可知，对于直线,随 的增大 而增大, 若,则 ,故④正确。 29 6. 在某市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在 比赛时的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系图象如 图所示.下列结论中，正确的是 .（填序号） ①②④　 ①这次比赛的全程是500 m；②乙队先到达终点；③两队在从 比赛出发到1.1 min的时间段内，乙队的速度比甲队的速度快； ④乙队与甲队相遇时的速度是375 m/min； ⑤在1.8 min时，乙队追上了甲队. 7. 作出函数y＝3x＋1的图象，根据图象回答： （1）当x取什么值时，函数值y大于0？ （1）当x＞－ 时，函数值y大于0. （2）当x取什么值时，函数值y小于0？ （2）当x＜－ 时，函数值y小于0. （3）当x取什么值时，函数值y不大于－2？ 解：作出函数y＝3x＋1的图象如图所示. （3）当y＝－2时，x＝－1，即当x≤－1时， 函数值y不大于－2. 8. 如图，直线l1：y＝kx＋a分别交x轴、y轴于点A（－2， 0），B（0，1），直线l2：y＝－2x＋b分别交x轴、y轴于点 C，D，交直线l1于点E，且OB＝ OC. （1）求直线l1的表达式； 解：（1）根据题意，得 解得 ∴直线l1的表达式为y＝ x＋1. （2）求△ACE的面积； 解：（2）∵B（0，1），∴OB＝1. ∵OB＝ OC，∴OC＝3OB＝3，∴C（3，0）. 把C（3，0）代入y＝－2x＋b得－6＋b＝0， 解得b＝6，∴直线l2的表达式为y＝－2x＋6. 联立 解得 ∴E（2，2）. ∵A（－2，0），∴AC＝5，∴S△AEC＝ ×5×2＝5. （3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋a＞－2x＋b的 解集. 解：（3）x＞2. 课堂总结 1.通过本节课的学习,你能否表达出一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系? 2.你积累了哪些数学思想方法? 35 利用函数图象求不等式的解集 k1x+b1>a的解集为x>m k1x+b1<a的解集为x<m k1x+b1>k2x+b2的解集为x>n k1x+b1<k2x+b2的解集为x<n O n x y y=k1x+b1 m y=a y=k2x+b2 直线y= ax+b在x轴上方(或 下方)时自变量的取值范围. 求ax+b>0(或<0) (a， b是常数，a≠0)的解集. 一元一次不等式与一次函数的关系： $