2.3 一元一次不等式与一次函数 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第二章 不等式与不等式组 3 一元一次不等式与一次函数 第2课时 一元一次不等式与一次函数的应用 1 素养目标 1. 能够运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题。 2. 有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力，能够形成合理的决策或判断。 2 教学重难点 重点：能够运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题。 难点：有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力，能够形成合理的决策或判断。 3 若y1＝－2x－2，y2＝3x＋3，试确定当x取何值时，y1<y2.你是怎样做的？ 解：直线y1＝－2x－2过点(0，－2)，(－1，0)； 观察图象得当x>－1时，y1<y2. 直线y2＝3x＋3过点(0，3)，(－1，0)， 画图象如图 O 1 2 3 -2 -1 x 2 3 1 4 -3 -2 y -1 y1＝－2x－2 y2＝3x＋3 知识回顾 导入新课 某学校为打造“书香校园”,准备购买一批图书,预算金额不超过2 000元.甲书店的付款方式为花20元办一张会员卡,所购图书总价可打八折;乙书店的付款方式为花200元办一张会员卡,所购图书总价可打七折.你认为学校选哪个书店购书更合算? 设所购图书总价为x元,购书总费用为y元,由题意可得 y甲=0.8x+20;y乙=0.7x+200. 有了两个函数,如何系统、 全面地比较它们,而不是仅仅代入几个数值去猜呢? 5 新知探究 活动一:提出问题，合作探究 例 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计最少有10人,最多不超过25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少? 在这个问题中,什么是变量?什么是常量? 参加旅游的人数x以及选择甲、乙旅行社时所需的费用y1,y2是变量;报价和优惠方式是常量. 6 新知探究 例 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计最少有10人,最多不超过25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少? 请列出甲、乙两家旅行社的费用表达式. y1=150x,y2=160x-160. 7 新知探究 活动二:实践探究，交流新知 y1=150x,y2=160x-160. 数学上,比较y1和y2的大小,有哪几种情况? 相等、大于、小于. 分为三个小组,第一组解y1= y2,第二组解y1> y2,第三组解y1< y2. 当x=16时,y1=y2;当x<16时,y1>y2;当x>16时,y1<y2. 数学结论x=16,x<16,x>16,可以直接作为最终答案吗? 不能.还要考虑旅游人数估计最少有10人,最多不超过25人. 综上,当x=16时,甲、乙两家旅行社的费用相同;当10≤x≤15时,选择乙旅行社支付的旅游费用较少;当17≤x≤25时,选择甲旅行社支付的旅游费用较少. 8 新知探究 活动三:数形结合，加深理解 请在同一平面直角坐标系中绘制y1=150x和y2=160x-160的函数图象的草图. 1.两条直线的交点坐标是多少?它代表什么实际意义? 两条直线的交点坐标是(16,2 400),代表16人时甲、乙两家旅行社的费用相同. 2.在交点左侧(x<16),谁的图象在下?这意味着什么? y2图象在下,意味着选择乙旅行社费用较少. 3.在交点右侧(x>16)呢? y1图象在下,意味着选择甲旅行社费用较少. 9 新知探究 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决这类决策问题时,分别起到了什么作用? 一次函数:刻画了两种方案中费用随人数变动的变化趋势. 一元一次方程:找到了两种方案的平衡点(临界状态). 一元一次不等式:明确了在不同范围内哪种方案更优. 10 一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较典型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案. 常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 解答方案决策问题的一般步骤： 根据题意写出每种方案的函数关系式，如y1=k1x+b1， y2=k2x+b2； 根据y1>y2，y1=y2，及y1<y2，分情况讨论，并结合实际问题确定x的取值范围； 根据x的不同取值范围及实际问题进行判断或决策. 新知探究 活动四:学以致用，巩固提升 你能完整解答导入新课时的问题(如下)吗? 某学校为打造“书香校园”,准备购买一批图书,预算金额不超过2 000元.甲书店的付款方式为花20元办一张会员卡,所购图书总价可打八折;乙书店的付款方式为花200元办一张会员卡,所购图书总价可打七折.你认为学校选哪个书店购书更合算? 13 O x y 500 1000 1500 2000 2000 1500 1000 500 (1800,1460) y甲=0.8x+20 y乙=0.7x+200 由图象可得， 当图书原价 x 为1800元时，两家书店总花费 y 都是1460元。 当y=2000时，x甲＜x乙，即相同预算下乙书店能买到更贵的图书。 因此学校选乙书店购书更合算。 x甲 x乙 当 0＜x＜1800 时，y甲＜y乙； 当 x＞1800 时，y甲＞y乙。 1. 某公司准备和一个个体车主或一家租车公司签订月租车合 同，设汽车每月行驶x（km），个体车主收费为y1（元），租 车公司收费为 y2（元）.观察图象可知，当选择个体车主更合 算时，x应满足（　B　） B A. 大于1 500 B. 大于1 800 C. 等于1 800 D. 小于1 800 跟踪练习 2.教材习题变式 [2024皖东南六校期中联 考]如图， 反映了某产品的销售收入与 销售量之间的关系， 反映了该产品的销 售成本与销售量之间的关系。根据图象 提供的信息，下列说法正确的是 ( ) D A.当销售量为2吨时，销售成本是2 000元 B.当销售成本是3 000元时，该产品盈利 C.当销售量为5吨时，该产品亏损 D.当销售量为4吨时，该产品不赚不亏 16 新知探究 问题:某公司40名员工到一景点集体参观,景点门票价格为30元/人.该景点规定满40人可以购买团体票,票价打八折,这天恰逢妇女节,该景点做活动,女士票价打五折,但不能同时享受两种优惠.请你通过计算帮助他们选择购票方案. 解：设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士票价打五折时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元. 由题意，得y1=30×0.5x+30×(40-x)=-15x+1 200. y2=30×40×0.8=960. 17 当y1 = y2时，-15x+1 200=960，解得x=16； 当y1 < y2时，-15x+1 200<960，解得x>16； 当y1 > y2时，-15x+1 200>960，解得x<16. 所以当女士不足16(0<x<16)人时，选择购买团体票合算； 当女士恰好是16(x=16)人时，选择两种方案所需费用相同； 当女士多于16(16<x≤40)人时，选择购买女士票价打五折合算. 新知探究 在本节问题中,一次函数刻画了问题中的两个变量之间存在的一种相互依赖关系,而一元一次不等式或一元一次方程则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态.因此,可以从一次函数的角度解决一元一次不等式或一元一次方程的问题,也可以利用一元一次不等式或一元一次方程研究一次函数的相关问题. 19 1. （2025·淄博期末）某书报亭开设两种租书方式：一种是零 星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12 元，租书费每册0.4元.小军经常来该店租书，若每月租书数量 为x册. （1）写出零星租书方式应付金额y1元与租书数量x册之间的函 数关系式； 解：（1）由题意，知y1＝x. （2）写出会员卡租书方式应付金额y2元与租书数量x册之间的 函数关系式； 解：（2）由题意，知y2＝0.4x＋12. 跟踪练习 1. （2025·淄博期末）某书报亭开设两种租书方式：一种是零 星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12 元，租书费每册0.4元.小军经常来该店租书，若每月租书数量 为x册. （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 解：（3）当y1＝y2时，x＝12＋0.4x，解得x＝20； 当y1＞y2时，x＞12＋0.4x，解得x＞20； 当y1＜y2时，x＜12＋0.4x，解得x＜20. 综上所述，当x＜20时，采用零星租书方式更合算；当x＝20 时，两种租书方式一样合算；当x＞20时，采用会员卡租书方 式更合算. 2. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x， 所需费用为y（元），选择这两种消费卡消费时，y与x的函数 关系如图所示. （1）分别求出选择这两种消费卡消费时，y关于x的函数表 达式； 解：（1）设y甲＝k1x. 根据题意，得5k1＝100，解得k1＝20， ∴y甲＝20x.设y乙＝k2x＋100. 根据题意，得20k2＋100＝300，解得k2＝10， ∴y乙＝10x＋100. 2. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x， 所需费用为y（元），选择这两种消费卡消费时，y与x的函数 关系如图所示. （2）请根据入园次数确定选择哪种消费卡消费比较合算. 解：（2）令y甲＜y乙，即20x＜10x＋100， 解得x＜10，∴当入园次数小于10时， 选择甲种消费卡消费比较合算； 令y甲＝y乙，即20x＝10x＋100， 解得x＝10，∴当入园次数等于10时， 选择两种消费卡消费一样合算； 令y甲＞y乙，即20x＞10x＋100，解得x＞10， ∴当入园次数大于10时，选择乙种消费卡消费比较合算. 综上所述，当入园次数小于10时， 选择甲种消费卡消费比较合算； 当入园次数等于10时，选择两种消费卡消费一样合算； 当入园次数大于10时，选择乙种消费卡消费比较合算. 1. 某电信公司有A，B两种计费方案，每种计费方案的月通话 费用y（元）与通话时间 x（min）之间的关系如图所示，则下 列说法正确的是（　D　） D A. 月通话时间低于200 min时，选B方案划算 B. 月通话时间超过300 min但低于400 min时，选A方案划算 C. 月通话费用为70元时，A方案比B方案的通话时间长 D. 月通话时间在400 min内时，B方案的通话费用始终是50元 课堂练习 2. 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元 A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 若一年内在该游泳馆游泳的次数在40和50之间，则最省钱的方式为（　C　） C A. 购买A类会员年卡 B. 购买B类会员年卡 C. 购买C类会员年卡 D. 不购买会员年卡 3. （教材变式）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的六折售卖；乙超市全部按标价的八折售卖. （1） 若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购买金额为 　300　元，在乙超市的购买金额为 　240　元； 300　 240　 （2） 假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 解：设购买x件这种文化用品.当0＜x≤40时，在甲超市的购买金额为10x元，在乙超市的购买金额为0.8×10x＝8x（元）.∵ 10x＞8x，∴ 选择乙超市支付的费用较少.当x＞40时，在甲超市的购买金额为400＋0.6（10x－400）＝（6x＋160）元，在乙超市的购买金额为0.8×10x＝8x（元）.若6x＋160＞8x，则x＜80；若6x＋160＝8x，则x＝80；若6x＋160＜8x，则x＞80.综上所述，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，两家超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少 4.教材习题变式 [2025新乡期末]龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于 洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上。为更好地提振文旅消费，该地管 理部门推出了针对学生的门票优惠政策。 优惠方案一:每位学生在原价30元的基础上全部八折收费。 优惠方案二:若学生人数不超过30，每位学生在原价30元的基础上全部按 九折收费；若学生人数超过30，其中30名学生按照原价收费，剩余学生按 五折收费。 29 （1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用 （单位:元）与参观的学 生人数 之间的函数表达式。 解:优惠方案一： 。 优惠方案二：当时， 。 当时， ， 30 （2）当学生人数超过30时，试讨论选择哪种优惠方案较合算。 解：由，得 ， 由，得 ， 由，得 ， 当学生人数超过30，但少于50时，选择优惠方案一较合算；当学生人 数为50时，优惠方案一和优惠方案二收费相同；当学生人数超过50时，选 择优惠方案二较合算。 31 5.[2025烟台中考]2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳 社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级 改造现有照明系统。已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购 买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元。 （1）求甲、乙两种路灯的单价； 解:设甲种路灯的单价是元，乙种路灯的单价是 元。 根据题意，得解得 答:甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元。 32 （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过 乙种路灯数量的 ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。 解：设购买盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费 元，则购 买 盏乙种路灯。 根据题意，得 ， ，随 的增大而减小， 又， ， 当时，取得最小值，此时 。 答:当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少。 33 课堂总结 本节课你学到了什么?解决了什么问题?体会了哪些数学思想? 一元一次不等式与一次函数在决策型问题中的应用： 实际问题 写出两个函数表达式 画出图像 分析图像 不等式 解不等式 解决问题 34 $