扬州中学树人教育集团2025年秋学期期末考试（树人校区）八年级数学

扬州中学树人教育集团2025年秋学期期末考试（树人校区） 八年级数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．“剪纸是扬州市市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，若将右面的剪纸放在平面直角坐标系中，点与点D关于y轴对称，则点D的横坐标是（    ） A．3 B． C．2 D． 4．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 5．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（     ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 7．如图，直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　）    A． B．直线经过第三象限 C．关于x的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 8．如图，在中，是角平分线，，．关于结论①、②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点在线段的垂直平分线上； 结论②：若，则 A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①、②都不正确 D．结论①、②都正确 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．化简： ． 10．如图，，若，，则 ． 11．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 12．2025年8月17日，苏超第九轮扬州主场对战淮安，共有26798名球迷到达现场加油助威，请将数据26798用四舍五入法精确到千位，并用科学记数法表示为 ． 13．已知点在第二象限，那么a的取值范围是 ． 14．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为 ． 0 1 2 8 15．如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为 . 16．如图，已知，平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则PE的最小值为 ． 17．如图，等腰的底边BC长为2，腰AC的垂直平分线分别交AB，AC边于点M，N．点D为BC边的中点，点P为直线MN上一动点，若周长的最小值为5，则的面积为 ． 18．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共96分.计算题要写出完整步骤！） 19．（1）计算：﹣+ （2）求x的值：4（x﹣3）2=100． 20．因式分解 (1) (2) 21．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 22．如图，在直角坐标系中、、． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)作出关于轴对称的 (3)三角形的面积为_______； (4)若点是轴上的动点，运动到某一位置恰好存在的最小值，请你直接写出的最小值为_______． 23．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 25．扬州市树人中学举办“四个校园活动”，需要到商店采购练习册做为奖品。已知某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/本，精装练习本的进价为元/本，设购买普通练习本本，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 26．在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”， 求a 的值； (3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 27．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 28．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州中学树人教育集团2025年秋学期期末考试（树人校区） 八年级数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的意义，B中含有π,为无理数，可得到答案 【详解】中含有π,是无理数 ，，都是有理数 故选：B． 【点睛】本题考查有理数和无理数的区分,常见的无理数有: (1)含π的式子; (2)根号开不尽的部分式子 2．下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数，根据一次函数和正比例函数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，该选项符合题意； 、是正比例函数，该选项不合题意； 、中的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 故选：． 3．“剪纸是扬州市市传统美术，国家级非物质文化遗产之一，若将右面的剪纸放在平面直角坐标系中，点与点D关于y轴对称，则点D的横坐标是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：∵点与点D关于y轴对称， ∴点D的横坐标是3； 故选A． 4．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 5．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用．先对进行提公因式，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 6．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（     ） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【答案】B 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时， 三边为3cm，5cm，5cm， 等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时， 底边长是：13－3－3＝7cm， 而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 7．如图，直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　）    A． B．直线经过第三象限 C．关于x的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 【答案】C 【分析】由直线的图象可知，即可判断A；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故A错误，不符合题意； ∵， ∴． 又∵， ∴直线经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故C正确，符合题意； ∵直线经过第第一、二、四象限， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 8．如图，在中，是角平分线，，．关于结论①、②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点在线段的垂直平分线上； 结论②：若，则 A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①、②都不正确 D．结论①、②都正确 【答案】D 【分析】先由直角三角形两锐角互余得到，再由角平分线定义得到，从而由等腰三角形的判定与性质即可确定结论①的正误；再由含的直角三角形性质得到，从而由结论①中求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，则， 是角平分线， ， ， 则， 点在线段的垂直平分线上，故①正确； 在中，，，，则， 由结论①的证明过程可知，， ，故②正确； 综上所述，结论①、②都正确， 故选：D． 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分） 9．化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查算术平方根的概念，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 10．如图，，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等． 根据，可得，再利用三角形内角和即可算出的度数． 【详解】解：， ，   ． ， ． 故答案为：． 11．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 12．我市市域面积约为16972平方公里，数据16972用四舍五入法精确到千位，并用科学记数法表示为 ． 【答案】1.7×104 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【详解】解：数据16972用四舍五入法精确到千位，用科学记数法表示为1.7×104， 故答案为1.7×104． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． 13．已知点在第二象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正列出不等式即可求解． 【详解】解：因为点在第二象限， 所以，， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了象限内点的坐标的特征，解题关键是明确第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正． 14．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为 ． 0 1 2 8 【答案】7 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．由秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系，可设函数关系式为，把，代入可求得，即得一次函数的解析式，再令，列方程求解即可． 【详解】解：秤砣到提钮的水平距离y与所挂物重x之间满足一次函数关系， 设一次函数的解析式为， 当时，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 所挂物重． 故答案为：7． 15．如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键． 根据一次函数的交点坐标就是以一次函数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象交于点， 关于的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 16．如图，已知，平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则PE的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过作于点，根据角平分线性质，得，根据垂线段最短即可得最小值． 【详解】解：过作于点，如图所示， 平分，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 17．如图，等腰的底边BC长为2，腰AC的垂直平分线分别交AB，AC边于点M，N．点D为BC边的中点，点P为直线MN上一动点，若周长的最小值为5，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】连接AP，AD，由MN是AC的垂直平分线，得AP=CP，当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，即AD+CD的最小值为5，从而得出AD=4，再利用等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接AP，AD， ∵MN是AC的垂直平分线， ∴AP=CP， ∴△PCD周长为PC+PD+CD=AP+PD+CD， 当A、P、D三点共线时，AP+PD最小， ∴AD+CD的最小值为5， ∵点D为BC的中点， ∴CD=BD=1， ∴AD=4， ∵AB=AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质等知识，将△PCD的最小值转化为AD+CD是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为 【答案】或 【详解】解：一次函数必经过点， 如下图所示， 点是“周六点”， 点在正方形上且不与点、、、重合， 即直线与正方形的边相交 (正方形的顶点除外)， 当时，一次函数经过点， 此时，， 解得：， 当时，直线与直线重合， 要使直线与正方形的边相交 (正方形的顶点除外)， ∴， 解得：； ∴； 当时，一次函数经过点， 此时，， 解得：； 则， 要使直线与正方形的边相交  (正方形的顶点除外)， ∴， ∴； 综上所述，或． 三、解答题（本题共10小题，19-22每题8分，23-26题每题10分，27-28每题12分，共96分.计算题要写出完整步骤！） 19．（本题满分8分）（1）计算：﹣+ （2）求x的值：4（x﹣3）2=100． 【答案】（1）8.5 （2）x=8或-2 【详解】试题分析： （1）先按“算术平方根”和“立方根”的定义化简各项，然后按有理数的加减混合运算计算即可； （2）先把原式化为：，再按平方根的定义将这个方程化为两个一元一次方程求解即可； 试题解析： （1）原式=          =. （2）原式可化为：， ∴或， 解得：或. 20．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可求解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式运算法即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例，设，把与的值代入求出的值，即可确定出关系式； （2）把点代入一次函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意：设， 把，代入得：， 解得：． 与函数关系式为； （2）解：把点代入得： 解得． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22．如图，在直角坐标系中、、． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)作出关于轴对称的 (3)三角形的面积为_______； (4)若点是轴上的动点，运动到某一位置恰好存在的最小值，请你直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据、、的坐标描出三个点，再顺次连接三个点即可； （2）利用轴对称变换的性质作出A，B，C的对应点，，，再依次连接即可； （3）用所在长方形面积减去周围三个三角形的面积进行求解即可； （4）连接交x轴于P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：； （4）解：如图所示，连接交x轴于P，则点P即为所求，    ∵点B和点关于x轴对称 ∴ ∴ ∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是全等三角形判定定理的应用． （1）已知是边上的中线，可得，又，可得，又因为（对顶角相等），可证△△； （2）由（1）中证明的△△，可得，进而求得的长． 【详解】（1）证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， △△， ， ， ． 24．如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 25．扬州市树人中学举办“四个校园活动”，需要到商店采购练习册做为奖品。已知某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/本，精装练习本的进价为元/本，设购买普通练习本本，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本销售单价为元，精装练习本销售单价为元； (2)①，；②普通练习本进本，精装练习本进本，利润最大，最大为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式． （1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据“本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．”找出等量关系式列出方程组，解方程组即可； （2）①设购买普通练习本本，则购买精装练习本本．根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出一次函数关系式即可；再根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围；②根据一次函数的增减性，即可得出答案． 【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元， 根据题意，得，解得． 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元； （2）①设购买普通练习本本，则购买精装练习本本． 根据题意，得； ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍． ∴，解得． 综上，关于的函数关系式为，自变量x的取值范围为； ②∵中，， ∴随的增大而减小． ∴当时，取最大值， （本），（元）． 答：当购买本普通练习本，本精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 26．在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”， 求a 的值； (3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 【答案】(1)3 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点C 在第二象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点 D 是“完美点”． 27．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】(1)330；100 (2)2.8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 28．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴垂线，垂足为点，并且交直线于点，根据直线与轴的夹角可得为等腰直角三角形，进而得到，再利用在直线上，列方程即可解答； （3）的位置有两种情况，一种情况是在上方，另一种情况是在下方，在上方时可以利用点的坐标求出点坐标，然后再求出直线的表达式，然后直线和直线联立就可以求出上方坐标，下方 坐标可以构造全等，利用上方坐标和的坐标求出即可． 【详解】（1）解：由直线的表达式为：得， 当时，；当时，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； （2）解：如图1，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 又，， ， 设，则，， 则有， ， ， ； （3）解：如图2，当在点上方时，不妨设为，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点作直线，交轴于点，交直线于，再作垂直轴，垂足为， 由（2）知，点坐标为， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 设直线表达式为：， 把和，代入得，， 直线表达式为， 联立直线和直线的方程， ， 解得， 点坐标为； 如图3，当在直线下方时，不妨设为，连接，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点，作直线的垂线，垂足分别为和， 由题意知，， 又，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即的纵坐标为， 在直线上， 把纵坐标代入中，得， ； 综上所述：坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $