湖北赤壁市第一中学等校2025-2026学年高二上学期数学学科素养测评

高二数学学科素养测评 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.双曲线 x y 6~了1的渐近线方程为 A.y=±2x B.y=t√2x C.y 2 D 2.已知直线1：ax+y+2=0,直线l2:16x+ay+a+4=0.若l∥L2,则a= A.-4 B.4 C.4 D.0 3.下列命题正确的是 A.事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小 B.若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B相互独立 C.若事件A与事件B互斥，则P(A)+P(B)=1 D.抛掷一枚均匀的硬币，若前两次都是反面，则第三次出现正面的可能性就比反面大 4.在空间直角坐标系O-z中，已知A(3,4,0),P(0,4,1),则点P到直线OA的距离为 A 4-5 B 号 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d且a,=9,当且仅当n=7时Sn最大，则d的 取值范围为 c.（-) D(引 6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x,4)在抛物线上，点M到点F的距离与到 直线y=-的距离相等，则p= 2 A.1 B.2 C.3 D.4 7.设曲线C:mx2+y2=1(mn≠0)的两个焦点分别为F(-3,0),F(3,0),若点Q(-V5,-3)关于 直线x+y-1=0的对称点P在曲线C上，则曲线C的离心率等于 A. 3或2 B D. 第1页共4页 8已知/=x+smx-+分数列a,}满足：a=八n中+八子+f八n*+f), 5 数列6，满足66，气22=46，二号定义☒表示不超过x的最大整数，则数列 an+2 的前7项和为 anan[b 511 1023 2047 A. B. C. 1023 D. 1024 2048 2048 1024 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知数列{an}的前n项和为S,,则下列结论正确的是 A。苦侣}是梦差数列，则a,}是等差数列 B.若{an}是等比数列，则S4,Sg-S4,S2-Sg是等比数列 C.若a,},也，}都是等差数列，，}前n项和为工，且=2+ T4n+3’ 则=19 b39 D.若{an}是等比数列，且Sn=入3”+4（九，4为常数)，则九+μ=0 10.以下四个命题表述正确的是 A.直线l:ax+(1-a)y=2与圆C:(x+1)2+y2=16一定相交 B.过抛物线C:y=8x的焦点F的直线与抛物线C相交于A,B两点，那么以AB为直径的 圆与抛物线C的准线相切 c.已知双曲线C:号_少=10m>0),则双曲线C的焦点到渐近线的距离为m 2 m D.已知椭圆C:亡+广=1和圆4x2-2x+y=0P,2分别为椭圆C和圆A上的动点，若F 1612 为椭圆C的左焦点，则Pg+PF的最小值为6 1,已知曲线E:内+少-1，则下列结论正确的是 24 A.y随着x增大而减小 B.曲线E的横坐标的取值范围为[-√2，W2] C.直线y=-1.4x与曲线E相交，且交点在第二象限 D.M(0,%)是曲线E上任意一点，则V2x。+y的取值范围为(0,2V5 第2页共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.如图，平行六面体ABCD-AB,CD的底面是正方形，若 ∠AAD=∠AAB=60°，AB=AA=2,则BD,= 13.己知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若(a2,S2)是函数 /x)=6x-23 -4的对称中心，则数列{log2a}的前n项和T,= 14.已知点F为双曲线C:士-上=1的右焦点，点么B分别为两条浙近线上的点，且 24 AF=FB(2>0),则OA+OB吲的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知圆C过二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的两个交点A,B,同时圆C过椭 圆x2+少=1的上焦点。 4 (1)求圆C的方程： (2)已知点P(2,√3)，过P作直线1与圆C相交所得弦长为2W3,求直线1的方程. 16.(15分)数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,{bn}为等比数列，其前n项和为Tn,已 知S5=15,S10=55,T2=6,T3=14. (1)求数列{an}和bn}的通项公式： (2)若bn>0,求数列{anbn}的前n项和Rn 第3页共4页 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD/1BC, PA=AD=CD=空，E为PD的中点，点F在线段PC上，且S= BC PC 3 (1)求证：CD⊥平面PAD: (2)求平面FAE和平面PAE的夹角的余弦值： G ③)设点G在线段P8上，具8-，判断直线AG是否在平面 AEF内？请说明理由. 18.(17分)已知数列{a}满足4=2，a1=30,+2,数列，}满足+++…+，=m+1, 35 2n-1 (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)将{bn}中的项按从小到大的顺序插入{an}中，且在任意的ak,ak1之间插入(2k-1)项， 从而构成一个新数列{cn},即a1,b,a2,b2,b,b4,a3,…,设{cn}的前n项和为T,,求I(请 用数字作答，附：39=19683,310=59049). 19.（17分)已知矩形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，AB=4,BC=2,E,F,G,H分 别是矩形四条边的中点，且四点均在坐标轴上，直线HF,BC上的动点R,S满足 OR=OF,C下=1CF(2∈R),直线ER与GS的交点为P. (1)证明：点P在一个确定的椭圆C上，并求此椭圆的方程： (2)设A,B是椭圆C的左右顶点，若直线1与椭圆C交于M、N,且kBM=3k4N(kB,M,k4N 分别表示直线B,M,AN的斜率)，过N作直线BM的垂线，垂足为Q. (i)证明：直线I过定点： (ⅱ)求|B,M|B,2I的取值范围. 第4页共4页高二数学学科素养测评 评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 B D 小 A D ACD ABD AD 12.3√2 13 n(t1) 14.6√2 2 8.(1)倒序相加求a。=n, 2)分奇偶求出b.2为 1 (3) 4.+21 ab.[b.]n-2+1-2裂项相消求和 11.【解析】因为曲线E: y=1, 24 当x≥0，y≥0时 +苦-1，则垂线E为椭国兮+苦-1的一部分： +4 当x>0,y<0时亡上-1，则曲线E为双南线二上=1的一部分， 24 24 且双曲线的渐近线为y=士±√2x: 当x<0,y>0时上父=1，则曲线E为双曲线上 -=1的一部分， 42 42 且双曲线的渐近线为y=±√2x: 可得曲线的图形如右所示： MV2x+y-22=0 由图可知y随着x增大而减小，故A正确： /2x+y=0 曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误； 因为-1.4>-2，所以曲线E与直线y=-1.4x相交，且交点在 第四象限，故C错误； 第1页共7页 因为小N+x+ 即点M(x,)到直线V2x+y=0的距离的√阝倍，当直 线V2x+y+c=0与曲线+。=1(x≥0，y≥0)相切时， 一十 48 「x2,y2 =1 ，消去y整理得4x2+2W2cx+c2-4=0, [v2x+y+c=0 则△=(2W2c/-16(c2-4)=0,解得c=2V2(舍去)或c=-22, 22 25 又V2x+y=0与V2x+y-2W2=0的距离d V2+ 231 所以小N2x+L=V5d=22, 所以V2x+为的取值范围为(0,2V2,故D正确：故选：AD 14.【解析】根据题意作图如下 设∠AOF=∠BOF=6,OA=m,|OB=n. 因为双曲线C的方程为父上=1 24 所以tane=√，loF=V6: 易知S△OAB=SAOAF+S△0BF 所以0sin20-xV6m0+x6sn0→2weos0=V6(mtnl 而a0=万，则es0-5所以9 m,即上-1-互 3 m n 3 所以+n= =62 当且仅当m=m=3√2时，等号成立，故OA+OB的最小值为6√2 故答案为：6√2 第2页共7页 15.(1)设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 令y=0得x2+Dx+F=0,此方程的解为A,B的横坐标 二次函数y=x2-2x-3中，令y=0得x2-2x-3=0,此方程的解也为A,B的横坐标 所以D=-2,F=-3 …Z分 椭圆的焦点为(0，士3)在圆上，所以3士√3E-3=0,所以E=0…4分 所以圆C的方程为x2+y2-2x-3=0,即(x-1)2十y2=4…6分 (求出A,B两点坐标或者解得x1,x2为-1和3，可给1分) (2)当直线1的斜率不存在时，直线1：x=2,直线1与圆C的两个交点为(2，士√3)， 弦长为2√3，直线1：x=2符合题意 …8分 当直线1的斜率存在时，设直线1：y-V3=k(x-2),即x-y+V3-2k=0 由于弦长为2W3,所以圆心到直线1的距离为1 …10分 质心c(10)到直线1的距离1-5利-1，解符k=5 Vk2+1 3 所以直线1的方程为x-√3y+1=0 …12分 综上，直线1的方程为x-√3y+1=0或x=2 …13分 (直线方程没化简最简形式，不扣分) 16.(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q 由题意得 S,=5a+10d=15 S。=10a+45d=55 解得 …Z分 所以an=n 3分 江=8+49+g=14解得82 T3=41+a9=6 a1=18 (9=2或 2 …5分 3 所以么，=2成么=18(3 …7分 (2)由bn>0得bn=2”,所以abn=n2” …8分 R=12+2.22+3.23+.+n2” 第3页共7页 2R=122+223+…+(n-1)2”+n.2+ -R。=2+22+23+…+2”-21=1-m)2-2 所以R=(n-1)·21+2 …l5分 方法二也可参照给分： 边2：Qb3M2”=c1-1D2m0-2)z” 风b+0b2+45+十么n 二0二Cx2+1x22-0十22-1以2+十HD2M229 =c1402m+2 17.(I)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,则PA⊥CD 又AD⊥CD,PAOAD=A都在平面PAD内，所以CD⊥平面PAD;…4分 (2)在平面ABCD内过点A作AD的垂线交BC于点M, PA⊥平面ABCD,AM,ADC平面ABCD,则PA⊥AM,PA⊥AD,…6分 构建如下图示的空间直角坐标系A-x,设BC=4,则A(0,0,0),B(2,- 2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) 7分 因为E为PD的中点，所以E(0,1,1),故 AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2), 所以即-器引0+F号为 G 设平面FAE的一个法向量为n=(化，y,),则 M iAE=y+2=0 2x+2y+4三=0·取=1则2=-1-1D 元AF= 3 …9分 m元5 面4的一个法向盘为m-L0,0,则cosm洞了 所以平面PAE和平面PAB的夹角的余弦值√ …l1分 3 第4页共7页 (3)直线AG不在平面AEF内，理由如下： 因为点G在B上，且PG-名，PB=(2,-2,-2), PB 3 由(2)知平面AE的一个法向量为n=(--1),所以，4G-i=-4+4+≠0 333 所以直线AG不在平面AEF内. …15分 (其他方法可以相应给分) 18.(1)对于数列{a},由a1=3an+2可得a1+1=3(a.+1), …2分 又4+1=30，所以41+1-3. …3分 9n+1 所以数列{+}是首项为3，公比为3的等比数列， 故an+1=3.3m-1=3”,得4=3”-1. … 分 对于数列，}，设S.=五+++ 3 b。=n+1, 2n-1 则当n≥2时，8811.相6=21-1 …7分 2n-1 n=1时b=2, …8分 「2 n=1 故b.={2m-1n22 …9分 (2)新数列{cn}结构为：a后插1项，4，后插3项，，4，后插2k-1项，到am为止总项数为 m+1+3+.+2m-3=m+m-101+2m1-3》=m+6m-1）=m2-m+1 当1=10时，到4o共102-10+1=91项， 故{cn}的前90项中{a}有9项，{色}有81项 …13分 ++a--31++31-”9-295239-9514 b+b++b1=2+3+5+.-161=6562 故T,0=29514+6562=36076, …17分 第5页共7页 19.(1)由题意可知：E(0,-1),F(2,0),由OR=0F=(2,0)=(2元，0) 可得R(2a,0),当元0时，直线欧的方程为：=2元X-1今y+1= 2 又G(0,1),C(2,1),由Cs=CF=2(0,-1)=(0,-), …2分 所以0S=0C+C=(2,1)+(0,-元)=(2,1-)，可得S(2,1-2): 所以直线Gs的方程为：y二2x+1→-1一人、 t, 上面两直线方程相乘可得：y2-1=-x→父 4 4+2=1 所以可得点P这个椭圆Y十y'=1上： …5分 (2)(i)设M(x,y1),N(x2,y2),又由(1)知A(-2,0),B(2,0), hw ww产2 又聋万-1，则听-1-手-4，代入上式而得一月 44 4 叉因为k3张，所以kaMk,w 设直线MN的方程为x=y+t(t≠±2)， x=my+t 蛛立x+y2=1得0m+4④0y+2m+t-4=0, y+y2=- 2mt m2+4 所以t2-4 y= m2+4 且△=4m2t2-4(m2+4)(t-4)>0,即m2-t2+4>0, …8分 第6页共7页 kAM·kAN= yy2 yiy2 (x+2)(x2+2)(my+t+2)(y2+t+2) t2-4 m2+4 t-21 m(E-4_2mtU+2）++22 4t+812 m2+4 m2+4 所以t=1,所以直线1过定点(1,0). …l1分 (ii)按过N作直线B1M的垂线解答时给分，评分标准如下： 2m +y2=- 由(i)可知 m2+4 -3 y2= 2+4 |B,MB,2HB,M·B,N1H:-2)x2-2)+yy2H(%-1)(%2-1)+y2I --3nm2-32m2 十 +1= 1 m2+4m2+4 m2+4 …15分 因为m2+4≥4，所以0<1≤1 m2+44 故BMB2引的取值范围为(O,二 …l7分 4 过N作直线BM的垂线解答时也给分，评分标准如下： 波Mx,),) BM:1:*x-之) Y-1 饭头：-以 1-2X￥，-2)++1以%+ 孩兰是&(2+y+以+)x2),1+x-分+以广 第5可共5列 第7页共7页