精品解析：湖南省常德外国语学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

常德外国语学校高一年级数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（50分） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ） ①，； ②，； ③，； ④，． A. ①② B. ②③ C. ③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数相等的概念逐项判断即可. 【详解】对于①，函数定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，故两个函数不是同一函数； 对于②，函数、的定义域都为， 所以两个函数的定义域相同对应关系不相同，故两个函数不是同一函数； 对于③，函数、的定义域均为， 所以两个函数的定义域相同对应关系相同，故两个函数是同一函数； 对于④，由，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故两个函数不是同一函数. 故选：C. 3. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 4. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 5. 命题“若则且b=0”的否定是（ ） A. 若，则且 B. 若，则且 C. 若，则或 D. 若，则或 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据定义写出命题的否定即可. 【详解】因为“若p则q”的否定是“若p则非q”， 所以命题“若则且b=0”的否定是“若，则或”. 故选：D 【点睛】命题的否定和否命题的区别： 否命题：条件和结论同时否定； 命题的否定：条件不变，只否定结论. 6. 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，解得， 由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合. 故选：D. 7. 若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“是的必要不充分条件”可知，是的真子集，求解即可. 【详解】∵ 是的必要不充分条件，∴是的真子集， 因此，解得. 故选：D. 8. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用整体的思想，将用这两个整体表示，再根据不等式的性质运算即可. 【详解】设, 即, 所以 解得, 所以 因为, 所以, 所以, 即, 故选：D. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出集合的元素，再根据集合交运算即可求解. 【详解】即， 解得， 由题意得， 则. 故选：. 10. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 二、多选题（18分） 11. 若，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D. 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以， 其与的大小关系与有关，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 12. 下列四个命题中，为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例可判断AD；利用不等式的性质可判断BC. 【详解】对于A，当时，则不成立，故A选项为假命题； 对于B，∵，∴，又，∴，故B选项为真命题； 对于C，由不等式的基本性质可得，C选项为真命题； 对于D，当，时，，则，故D选项为假命题. 故选：BC. 13. （多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时, 等号成立，即的最小值是4，B不正确； 对于C选项，，则， 当且仅当时，等号成立，C选项正确. 对于D选项，，所以，， 当且仅当时，等号成立，D选项正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（20分） 14. 不等式的解是__________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化为整式不等式求解即可. 【详解】由可得：， 即，解得：. 故答案为：. 15. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 16. 若关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是______（填写正确命题的序号）． ①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意知，，，即可判断①③，解一元一次不等式、一元二次不等式求解集判断②④. 【详解】由题意知，，，所以①②正确，③错误， 因为，代入，， 得，又因， 所以解得或，所以④正确. 故选：①②④ 17. 已知均为正实数，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题（10＋10＋12＋14＋16＝62分） 18. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【小问1详解】 由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； 【小问2详解】 由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 19. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【小问1详解】 不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； 【小问2详解】 （2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 20. 已知集合，集合.若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】求得集合，从反面入手，，然后分类讨论求得的范围，最后再求其在中的补集即得． 【详解】若，则，又∵， ∴集合有以下三种情况： ①当时，，即，∴或， ②当是单元素集时，，∴或， 若，则不是的子集，若，则，∴， ③当时，、是方程的两根， ∴，∴， 综上可得，时，的取值范围为或或， ∴满足的实数的取值范围为. 21. 某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【小问1详解】 由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． 【小问2详解】 当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 22. 设. （1）若对于，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围. （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3） 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【解析】 【分析】（1）将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. （2）由题意将不等式整理，得，结合时，，将原不等式转化为，求出在上的最小值即可. （3）由题意将不等式整理得，然后分类讨论的情况：、、、、，从而可求解. 【小问1详解】 设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【点睛】方法点睛： （1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围； （2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于的一次函数，利用函数的单调性将问题转化为函数的最大值小于，即可得到关于的不等式解得范围． （3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常德外国语学校高一年级数学第一次月考试卷 考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（50分） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ） ①，； ②，； ③，； ④，． A. ①② B. ②③ C. ③ D. ③④ 3. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 命题“若则且b=0”的否定是（ ） A. 若，则且 B. 若，则且 C. 若，则或 D. 若，则或 6. 设，不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 24 B. 25 C. D. 二、多选题（18分） 11. 若，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. D. 12. 下列四个命题中，为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 13. （多选）设正实数满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最大值 D. 有最小值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（20分） 14. 不等式的解是__________. 15. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 16. 若关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是______（填写正确命题的序号）． ①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为． 17. 已知均为正实数，若，则的最小值为__________. 四、解答题（10＋10＋12＋14＋16＝62分） 18. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 19. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 20. 已知集合，集合.若，求实数的取值范围. 21. 某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 设. （1）若对于，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于，恒成立，求实数的取值范围. （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $