精品解析：湖南张家界市永定区2025年秋季学期八年级期末教学质量监测试卷 数 学

永定区2025年秋季学期八年级期末教学质量监测试卷数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 5. 将用提公因式法因式分解，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 清代诗人袁枚创作的诗歌《苔》“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍能绽放属于自己的美丽，若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设S1=1，S2=1+3，S3=1+3+5，…，Sn=1+3+5+…+（2n-1），S=++…（其中n为正整数），当n=20时，S的值为（　　） A. 200 B. 210 C. 390 D. 400 二、填空题（共18分） 11. 分解因式：_________________ ． 12. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式：__________． 13. 若要说明命题是假命题，则a的值可以是________．（写出一个即可） 14. 如图用尺规作出了其依据是___________  （填全等判定方法的简写） 15. 如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．若，则的长为______． 16. 如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有________．（填序号） 三、解答题（共72分） 17. 因式分解：（1）a2﹣8a+16； （2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．求证：BC=EF． 22. 如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间一条小路，已知米，米，米，． （1）求的长； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 23. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多元，且用元购买甲种图书与用元购买乙种图书数量相等． （1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ （2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共本，购买时得知甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 24. 综合与实践： 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2025年秋季学期八年级期末教学质量监测试卷数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可． 【详解】A．左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B．左边是多项式，右边是整式的平方（即积的形式），属于因式分解； C．右边不是积的形式，而是和的形式，不是因式分解； D．左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解． 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），直接判断各选项是否可化简． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、，，无完全平方因数，且不含分母，是最简二次根式； C、，含完全平方因数4，不是最简二次根式； D、，含完全平方因数16，不是最简二次根式． 故选：B． 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，掌握同类二次根式才能合并、二次根式的乘除法则是解题的关键． 通过计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：B． 4. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 5. 将用提公因式法因式分解，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键. 观察多项式，发现两项均含有公因式，因此直接提取该公因式即可. 【详解】原式为. 寻找公因式：两项中均含有因式. 提取公因式：将提出，剩余部分为，即分解结果为. 故选：C． 6. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握它们的区别与联系是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一分析每个选项的计算结果是否正确． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选： 7. 随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为米/秒，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，审清题意、通过时间相等建立方程是解题的关键． 根据甲跑300米用的时间与乙跑米用的时间相等，据此列出方程即可． 【详解】解：设甲接下来的平均配速为x米/秒， 根据题意列出方程：． 故选：A． 8. 清代诗人袁枚创作的诗歌《苔》“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍能绽放属于自己的美丽，若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了较小数的科学记数法．将用科学记数法表示为的形式，需满足，为小数点向右移动的位数，即可求解． 【详解】解：原数的小数点需向右移动6位得到， 因此将用科学记数法表示． 故选C． 9. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 10. 设S1=1，S2=1+3，S3=1+3+5，…，Sn=1+3+5+…+（2n-1），S=++…（其中n为正整数），当n=20时，S的值为（　　） A. 200 B. 210 C. 390 D. 400 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中数字，可以得到当n=20时S的值，本题得以解决． 【详解】解：∵S1=1，S2=1+3=4，S3=1+3+5=9，…，Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2，S=++…（其中n为正整数）， ∴当n=20时，S的值为：S=+++…+=1+2+3+4+…+20=210， 故选B． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 二、填空题（共18分） 11. 分解因式：_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式：__________． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论． 根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等， ∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 13. 若要说明命题是假命题，则a的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，为负数即可） 【解析】 【分析】本题主要考查假命题，绝对值的性质，要说明命题是假命题，那么根据负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】解：由是假命题，负数的绝对值是它的相反数，得 a为负数，如． 故答案为：（答案不唯一，为负数即可） 14. 如图用尺规作出了其依据是___________  （填全等判定方法的简写） 【答案】SSS##边边边 【解析】 【分析】本题考查三角形的全等判定，理解尺规作图中的等量关系是解题的关键． 根据画图做法，能判断出、以及，故判断出其判定方式． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．若，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，含角的直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质可得，利用含角的直角三角形的性质可求解的长，进而求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 16. 如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解：（1）a2﹣8a+16； （2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）． 【答案】（1）（a-4）2；（2）（x-y）（a+2）（a-2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行分解即可； （2）首先提公因式x-y，再利用平方差进行分解即可． 【详解】解：（1）原式=（a-4）2； （2）原式=a2（x-y）-4（x-y） =（x-y）（a2-4） =（x-y）（a+2）（a-2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别计算零次幂，负整数指数幂，立方根的运算，再合并即可得到答案； （2）分别计算二次根式的乘法与除法，再化简，合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的意义，立方根的含义，二次根式的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值．先计算括号里的减法，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．求证：BC=EF． 【答案】 证明：∵AB∥ED， ∴∠A=∠D， 又∵AF=DC， ∴AC=DF， 在△ABC与△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF． ∴BC=EF． 【解析】 【分析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 22. 如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间一条小路，已知米，米，米，． （1）求的长； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【答案】（1）的长为米； （2）这条水渠的最短长度为米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理推得是直角三角形，，则，再由勾股定理可得； （2）过点作，垂足为点，由垂线段最短可得的长即为水渠的最短长度，结合三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：，， ， 是直角三角形，， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， 根据垂线段最短，的长即为水渠的最短长度， ， ， 水渠的最短长度为米． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理、垂线段最短，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 23. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多元，且用元购买甲种图书与用元购买乙种图书数量相等． （1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？ （2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共本，购买时得知甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？ 【答案】（1） 甲种图书的价格是元，乙种图书的价格是元 （2） 学校最多可购进甲种图书本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系和不等式关系． （1）设乙种图书的价格是元，则甲种图书的价格是元，根据购买数量相等列出分式方程求解； （2）设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本，根据总费用不超过元列出一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设乙种图书的价格是元，则甲种图书的价格是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种图书的价格是元，乙种图书的价格是元． 【小问2详解】 解：设学校可购进甲种图书本，则可购进乙种图书本， 甲种图书优惠后价格为（元）， 乙种图书优惠后价格为（元）， 由题意得：， 解得． 答：学校最多可购进甲种图书本． 24. 综合与实践： 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】（1） ①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② （2） ， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，     ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）40 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 【小问1详解】 ①略 ②解： 由①得， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4， ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $