精品解析：北京市北京中学2024-2025学年高一下学期3月阶段检测数学试题

北京中学2024-2025学年下学期高一年级3月阶段检测 数学试卷 本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分. 一、选择题：每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案. 1. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 6. 已知平面向量、、满足，且，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知单位向量，满足，若非零向量，其中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 二、填空题：每小题5分，共30分. 11. 设，若复数是纯虚数，则_____. 12. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_________. 13. 在中，，则_____________ 14. 在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可） 15. 若，且，则______________，的最大值为______________. 16. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：共5小题，共70分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值； （3）若，且，求向量与向量的夹角. 18. 在中，. （1）求的值； （2）求的面积. 19. 如图，在梯形ABCD中，，， （1）求； （2）求BC的长． 20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京中学2024-2025学年下学期高一年级3月阶段检测 数学试卷 本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分. 一、选择题：每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案. 1. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数对应的点求出复数，，计算，得复数的虚部. 【详解】在复平面内，复数，对应的点分别为，， 则，，得， 所以复数的虚部为. 故选：D 2. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 3. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 4. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意求出底面边长，然后利用面积公式计算即可 【详解】 由题意可知，则， ， 所以该正四棱锥的表面积为， 故选：C 5. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形， 故选：A 6. 已知平面向量、、满足，且，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由等式得，等式两边平方可求出的值. 【详解】由可得，等式两边平方得，即， 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 7. 已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量， 设，，，如下图，为边长为1的菱形， 若，即与垂直，， 即，而，且， 所以共线，即与共线； 若与共线，即且，而，即， 所以与垂直，故. 所以“”是“与共线”的充要条件. 故选：C 8. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解. 【详解】由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小， 正方体的体对角线长为 所以，此时圆柱的底面半径为，高为， 所以该圆柱体积的最小值为. 故选：B. 9. 已知单位向量，满足，若非零向量，其中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合平面向量得数量积求出，分和讨论，结合函数得值域即可求出结果. 【详解】非零向量，且单位向量，满足， 所以， 当时， ； 当时，所以，故， 故选：D. 10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解. 【详解】由于，所以, 连接,取其中点为，连接, 所以, 由，且多边形为正六边形，所以， 由于,所以， 故一个菱形的面积为， 因此上顶的面积为， 故选：D 二、填空题：每小题5分，共30分. 11. 设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】复数, 因为复数是纯虚数，所以, 解得：, 当时，满足条件； 故答案为： 12. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积及侧面展开图扇形的弧长可求圆锥的母线长与底面圆的半径，从而可求圆锥的高，根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】解：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r， 由已知条件可得:,解得. 故圆锥的高, 所以该圆锥的体积为. 故答案为:. 13. 在中，，则_____________ 【答案】 【解析】 【详解】由三角形的面积公式知，,解得，再有余弦定理得，故. 14. 在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可） 【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可） 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得， 因为角A为锐角，则，可得， 所以的周长. 故答案为：9（答案不唯一，内的任何一个值均可）. 15. 若，且，则______________，的最大值为______________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值. 【详解】由，可得， 由题设，在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示， ∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最短， 由图知：共线时，的最大为. 故答案为：2，. 【点睛】关键点点睛：由已知条件将向量转化为图形形式，数形结合法分析的最大时动点的位置，即可求最大值. 16. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据规律判断①，利用特殊值判断②，根据时判断③；利用余弦定理证明从而判断④. 【详解】依题意可得对于任意正整数，，故①正确； 当时，，故②不正确； 由于，解得，故存在正整数，三角形的面积为2025，故③不正确； ， ， ， 因为，所以在三角形中，为最大角， ， 则为锐角，即三角形为锐角三角形，故④正确； 故答案为：①④ 三、解答题：共5小题，共70分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值； （3）若，且，求向量与向量的夹角. 【答案】（1）；（2）；（3）.. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可； （3）由，得化简结合已知条件可得答案 【详解】解：（1）因为，， 所以. 所以. （2）因为， ， ， 所以. （3）因为， 所以. 即. 所以. 即， 所以. 因为， 所以. 18. 在中，. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，然后利用正弦定理可求出的值； （2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 在中，因为，， 所以， 因为， 所以由正弦定理得，得， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， ，得， 解得或（舍去）， 所以. 19. 如图，在梯形ABCD中，，， （1）求； （2）求BC的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值. （2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【小问1详解】 在中，，，则、均为锐角， 则，， . 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 由，得，在中，由余弦定理得：， 所以. 20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （i）不能选条件①； 选条件②：. 选条件③：. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角化简得，计算即得． （2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 由可得, 因为在中，所以， 即，因为，所以. 【小问2详解】 （i）若选条件①，结合（1）及， 由正弦定理,可得， 则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①， 若选条件②：，结合（1）及， 由余弦定理，可得，解得， 易知，故此时满足条件的三角形唯一. 所以. 若选条件③：，结合（1）及， 因为,所以为锐角, 由,可得， 因为在中 所以. 易知满足条件的三角形唯一. 由正弦定理,可得, 所以. （ii）由余弦定理， 可得， 结合基本不等式，可得， 解得：,当且仅当，原式取等. 又在中易得. 所以周长. 周长的取值范围为. 【点睛】方法点睛：在求解对边对角模型问题中的周长或面积范围时常见有2种方法： （1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性质，进行适当放缩； （2）利用正弦定理边化角，转化为三角函数求值域问题. 21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1），；， （2） 当或时，不妨设，即，． 若，结论显然成立； 若，不妨设，，则，，． 所以，结论成立． 当且时，不妨设，，，， 则当时，；当时，． 因为当，时，，， 所以． 所以． 同理可得：，，． 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）按定义求出，，，，进行求解即可． （2）分两种情况进行证明，即①或，②且分别证明即可． （3）因为，分情况讨论：①若或时；②若或；③若，进行求解． 【小问1详解】 ，；，． 由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变． 因为为奇数，，所以，均不为0． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，的最小值为．对于如下的数表A，． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 下面证明：． 设中恰有个正数，中恰有个正数，． ①若或，不妨设，即，． 所以当时，． 由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则， 且，． 所以． ②由①设且．若或，不妨设， 则由（2）中结论知：． 因为， 所以． ③由①②设且． 若，则由（2）中结论知：． 因为， 所以． 若，，不妨设，，，且， 由（2）中结论知：．所以． 若数表中存在为1，将其替换为后得到数表． 因为，， 所以． 所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小． 所以不妨设． 因为，， 所以，故的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是读懂、理解题中数表的性质，关键之二是利用分类讨论思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $