北京市北京中学2024-2025学年高一下学期3月阶段检测数学试题

北京中学2024-2025学年下学期高一年级3月阶段检测 数学试卷 本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分. 一、选择题：每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案. 1. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 6. 已知平面向量、、满足，且，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 将一个棱长为1的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知单位向量，满足，若非零向量，其中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 二、填空题：每小题5分，共30分. 11. 设，若复数是纯虚数，则_____. 12. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_________. 13. 在中，，则_____________ 14. 在中，角A，，所对的分别为，，．若角A为锐角，，，则的周长可能为______．（写出一个符合题意的答案即可） 15. 若，且，则______________，的最大值为______________. 16. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： ①对于任意正整数，； ②不存在正整数，使得为整数； ③不存在正整数n，使得三角形的面积为2025； ④对于任意正整数，三角形为锐角三角形. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：共5小题，共70分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，. （1）求； （2）求向量与向量的夹角的余弦值； （3）若，且，求向量与向量的夹角. 18. 在中，. （1）求的值； （2）求的面积. 19. 如图，在梯形ABCD中，，， （1）求； （2）求BC的长． 20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若． （i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． （ii）求周长的取值范围． 21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 北京中学2024-2025学年下学期高一年级3月阶段检测 数学试卷 本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分. 一、选择题：每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题：每小题5分，共30分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】9（答案不唯一，内的任何一个值均可） 【15题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【16题答案】 【答案】①④ 三、解答题：共5小题，共70分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【17题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）.. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （i）不能选条件①； 选条件②：. 选条件③：. （ii） 【21题答案】 【答案】（1），；， （2） 当或时，不妨设，即，． 若，结论显然成立； 若，不妨设，，则，，． 所以，结论成立． 当且时，不妨设，，，， 则当时，；当时，． 因为当，时，，， 所以． 所以． 同理可得：，，． 所以． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $