精品解析：上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷

上海师范大学附属中学宝山分校 2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求一枚正面朝上的概率与没有正面朝上的概率，利用加法公式，可得结果. 【详解】抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率为， 没有正面朝上的概率为，两个事件互斥， 所以最多1枚朝上的概率为. 故答案为：. 2. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合体积求得球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以这个球的表面积为. 故答案为：. 3. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼． 【答案】 【解析】 【分析】设这个水库里大概有条鱼，利用等比例性质求即可. 【详解】令这个水库里大概有条鱼，由题意有，可得条. 故答案为： 4. ，则___________. 【答案】80 【解析】 【分析】由二项式定理可得． 【详解】由题意． 故答案为：80． 5. 已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. ①当的斜率不存在，则， 此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为， 则，解得， 所以直线，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______. 【答案】10.8 【解析】 【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可. 【详解】数据从小到大排序为： 8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个， 所以， 所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8. 故答案为：10.8 7. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为___________（以下摘自随机数表第7行）． 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 【答案】11 【解析】 【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法得答案． 【详解】从随机数表第9个数字开始向右读，，（舍去），（舍去），，，（舍去），11……， 则第4支水笔的编号为． 故答案为：11． 8. 某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为_____． 【答案】0.9## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质计算得答案. 【详解】记两次考试分别超过130分的事件为，则， 因此， 所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9. 故答案为：0.9 9. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 10. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】用极差，平均数及众数的概念结合条件判断①③，举反例判断②. 【详解】对于①，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3 得到此数据中最小值为，此时数据的平均数必然大于7， 与矛盾，故假设错误， 所以此组数据全部小于10，符合题意，故①正确； 对于②，举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差， 但不符合入冬指标，故②错误； 对于③，因为众数为5，极差小于等于4， 则最大数不超过9，故③正确. 故答案为：①③. 11. 已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 【答案】 【解析】 【分析】将，利用向量运算得，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】如图，因为，又， 所以，又， 所以，即， 所以，化简得， 所以，所以. 所以异面直线与的夹角为. 故答案为：. 12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 【答案】1926 【解析】 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. 二、选择题（本题共4个小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 14. 某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 第80百分位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均值、中位数、百分位数的概念判断ABC，根据方差性质判断D. 【详解】加分后，与原始分数相比，平均值，中位数，第80百分位数的数值都会发生改变， 但根据方差的性质，一组数据同时加上相同的数后，方差大小不变. 故选：D. 15. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 16. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（ ） A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可. 【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为， 如图所示： 对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面 ，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题； 对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题. 故选：A. 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21每题18分，满分78分） 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】（1）由题设，且， 故， 所以，故. 因为 底面，底面，所以， 因为，且面， 所以平面， 又平面， 则， （2）. 【解析】 【分析】（1）由得到，根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定、性质可证； （2）设相交于一点，连接，易知是直线与平面所成的角，进而求出角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设相交于一点，连接，由（1）知：平面， 所以是直线与平面所成的角， ，则， 因为四棱锥的体积为，底面， 所以，所以， ,, 所以  ， 所以所求线面角的大小为. 18. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1），； （2）； （3）平均数为88，方差为19. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，应用频率和为1及等比中项性质列方程求参数； （2）根据分层抽样的等比例性质有来自的分别为2人、5人，结合组合数及古典概型的概率求法求概率； （3）由平均数、方差公式求剔除数据后的平均数和方差. 【小问1详解】 由题设，且， 所以且，故， 所以，. 【小问2详解】 由题图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率. 【小问3详解】 由题设得，， 假设剔除的两个为，则平均值为， 此时方差为. 19. 已知一条动直线， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． （2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）证明：整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2） 【解析】 【分析】（1）需将直线方程整理为关于参数的形式，令的系数及常数项为零，解方程组得定点坐标； （2）设该直线倾斜角为，用表示，，将转化为三角函数式，通过换元法求最小值，进而得直线方程. 【小问1详解】 证明略，定点 ； 【小问2详解】 由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 20. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； 【小问2详解】 由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 21. 我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. （1）若，求； （2）①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； （3）证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】（1）； （2）①的方向是平面的法向量；②； （3） ， 三棱锥的体积为 【解析】 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. 【小问3详解】 由题意知点到平面的距离为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属中学宝山分校 2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______. 2. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 3. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼． 4. ，则___________. 5. 已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程__________. 6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______. 7. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为___________（以下摘自随机数表第7行）． 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 8. 某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为_____． 9. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____． 10. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______. 11. 已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 二、选择题（本题共4个小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 14. 某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 第80百分位数 D. 方差 15. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）． A. B. C. D. 16. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（ ） A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21每题18分，满分78分） 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 18. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 已知一条动直线， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． （2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 20. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 21. 我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. （1）若，求； （2）①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； （3）证明，并用表示三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $