精品解析：天津市蓟州区上仓中学2025-2026学年高三上学期阶段性练习(二)数学试题

上仓中学2025—2026学年度第一学期高三年级数学学科 阶段性练习（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（共9题；每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 9. 已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 复数（其中为虚数单位），则的虚部为___________. 11. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 12. 已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则__________. 13. 已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为________． 14. 已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______. 15. 在边长为的菱形中，，且，，则_______；若为线段上的动点，则的最小值为_______． 三、解答题（共75分） 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）设， （i）求的值； （ii）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，点E是棱上靠近P端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面 （2）求点F到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，其中为坐标原点，求直线的斜率； （3）若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由． 19. 已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，， （1）求数列和的通项公式； （2）设 ，求数列的前2n项和. （3）设，，的前n项和，求证：. 20. 设函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上仓中学2025—2026学年度第一学期高三年级数学学科 阶段性练习（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（共9题；每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再由集合的交集运算可得结果. 【详解】易知集合， 又，可得. 故选：B 2. 已知 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式与分式不等式求得集合，可得结论. 【详解】解二次不等式，可得，则， 解分式不等式，可得，则， 因为，所以是的充要条件. 故选：C. 3. 若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可 【详解】解：对于A，若，则或，故A不正确； 对于B，若，则或，故B不正确； 对于C，若，则或，故C不正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求奇偶性，排除BD，再由特殊区间的正负，排除A. 【详解】定义域为R， 且， 所以为偶函数，排除BD； 当时，，故排除A 故选：C 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算定义域，再根据复合函数的单调性求减区间． 【详解】 ， 由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间是， 故选：C. 7. 已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 8. 已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线的准线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 则有 ∴，，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度． 9. 已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断可得为偶函数，所以在上有且仅有2个不同的零点，求出在上的解析式，根据二次函数知识列式可得解. 【详解】因为，所以，所以为偶函数， 因为有且只有四个不同的零点， 所以在上有且仅有2个不同的零点，且，即， 当时，，，， 所以在上有且仅有2个不同的零点， 所以，解得. 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 复数（其中为虚数单位），则的虚部为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合虚部的概念即可求解. 【详解】由题意知，， 所以复数z的虚部为. 故答案为： 11. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 12. 已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由是公差不为0的等差数列，根据等差数列的通项公式将用和表示，由成等比数列，根据等比数列得到，代入，得到和的等式，将代入计算出，将用和表示，代入和得解. 【详解】是公差不为0的等差数列， ， 成等比数列， ， ， ， ， 或， ，，. 故答案为：16. 13. 已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可. 【详解】由已知得：， ， 当且仅当时取等号； 由题意：， 即， 解得：或， 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 15. 在边长为的菱形中，，且，，则_______；若为线段上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】依题意可得，根据平面向量线性运算及基本定理求出、，建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，利用坐标法及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又且、不共线，所以，所以； 如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，由，所以， 所以，因为为线段上的动点， 设，所以，所以， 所以， 所以 ，所以当时取得最小值，且最小值为. 故答案为：； 三、解答题（共75分） 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）设， （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案； （2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； 【小问2详解】 （i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 17. 如图，在四棱锥中，平面，，点E是棱上靠近P端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面 （2）求点F到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面PAD，所以. 因为，所以. 故以点D为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，，则. 又，可得， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，证明即可； （2）利用向量法求点到面的距离； （3）利用向量法求面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 所以点F到平面的距离等于点A到平面的距离. ，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，，，则. 设平面与平面的夹角为α，则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，其中为坐标原点，求直线的斜率； （3）若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，定值为4 【解析】 【分析】（1）由离心率和长轴，求出和，再由求得，即可求出椭圆标准方程； （2）设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，，直线方程与椭圆方程联立，分别表示出和，由列出方程，即可求出斜率值； （3）由弦长公式表示出，再由是椭圆经过原点的弦，且，表示出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由离心率，长轴为4，得， ， 所以， 故椭圆C的标准方程为：． 【小问2详解】 由（1）得椭圆的右焦点的坐标为， 设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，， 由得，， 则，， 所以， 因为， 所以，即， 解得， 故直线的斜率为． 【小问3详解】 是定值，理由如下， 由（2）得：直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，， ，， 则 ， 由是椭圆经过原点的弦，设，，直线的斜率为， 则， 由得，，且， 得， 所以，为定值． 19. 已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，， （1）求数列和的通项公式； （2）设 ，求数列的前2n项和. （3）设，，的前n项和，求证：. 【答案】（1） （2） （3） ， ； 综上， ， ， 的前2n项和=. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出 即可； （2）按照下标为奇数和偶数分组，用分组法求前2n项的和； （3）用裂项相消法即可证明. 【小问1详解】 由题意， ，设公比为q， 则有 解得 或 （由于 是正数列，舍）， 由 ， ， ； 对于 由等差中项可知 ， 设公差为d， ， ， ； 【小问2详解】 设数列 的前n项和为 ， 则有： =， 设 …①， …② ， -②得：， K， ； 【小问3详解】 略 20. 设函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1） （2）若时，在上单调递增； 若时，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可； （3）分离参数，利用导数研究函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，， 则在处的切线方程为：； 【小问2详解】 由， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则时，有，即在上单调递减， 时，有，即在上单调递减； 综上：若时，在上单调递增；若时，在上单调递减； 【小问3详解】 不等式恒成立， 设， 易知在上单调递增， 又，所以时有，时有， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $