精品解析：重庆南川区　2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

数学三 数学共6页，满分150分，时间120分钟． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案．其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列中国古代传统图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 4. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值2 D. 当时，随增大而减小 5. 如图，点是上的点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，洪崖洞是重庆的标志性景点之一，第一天游客数量为30万人，第三天游客数量为33万人，则平均每天增长率为多少？设平均每天增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，连接．若的半径为6，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，，且，下列说法： ①若，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的所有整式的和为； ③若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 在一个不透明的盒子里装有5个红球、3个白球、2个绿球，这些球除颜色外其余完全相同．从盒子中随机摸出1个球，则摸出的球是红球的概率是___________． 13. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，点为线段的中点，点为轴上任意一点，且的面积为6，则___________． 14. 若反比例函数经过点，则关于的二次函数的图象与轴有___________个交点． 15. 如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则___________，___________． 16. 对于一个四位正整数，若它的各位数字都不为零，且十位数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数为“三生三世数”，例如：是一个“三生三世数”：又如不是一个“三生三世数”，则最大的“三生三世数”是___________；若将的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的四位数为数的“翻转数”，记作，例如：，其“翻转数”．若一个“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，设，若能被6整除，则所有满足题意的四位正整数的最大值与最小值的和是___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点在边上，平分，请完成以下作图和填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接对角线，点在边上，平分，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，_____①______． ． 平分， ____②_______． 平分， ______③______． ． ，___④_____， 四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求该二次函数的图像与轴的交点坐标； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，点，分别在，边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 某校体育课外社团活动开始报名招新，设有足球、羽毛球、排球、乒乓球四个团队，规定每位学生只参加其中一个团队，并由学生自己抽签决定具体的团队类型． （1）小华抽到排球队的概率为___________； （2）小华和小敏都报名参加了这次体育课外活动，用画树状图或列表的方法求小华和小敏抽到同一个团队的概率． 22. 某玩具店推出一款亲民价格的玩偶、深受大众喜爱，据统计该玩偶平均每天可销售40件，每件盈利75元．为了尽快减少库存．店家决定采用适当的降价措施．经调查发现，每件该玩偶每降价1元，该玩具店平均每天就可以多售出这种玩偶2件． （1）若某天该玩偶每件降价5元，该玩具店当天可以获利多少元？ （2）在上述销售正常的情况下，为了尽快减少库存，每件玩偶降价多少元时，该玩具店的日盈利为4500元？ 23. 如图1，在长方形中，，动点从点出发，沿着折线的方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动．设点运动的时间为秒（），记的面积为，长方形的面积与的面积之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在轴上有两个动点，，，且点在点的左侧，连接，当线段取得最大值时，求的最小值： （3）将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点H，连接，若，求证：； （3）在D点的运动过程中，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学三 数学共6页，满分150分，时间120分钟． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案．其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次方程；据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.原方程可化为，未知数的次数最高是1，不符合一元二次方程的定义，故不符合题意； B.是一元一次方程，故不符合题意； C.是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D.是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2. 下列中国古代传统图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形定义即可解决问题． 【详解】解：A、选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 根据随机事件的定义作答即可． 【详解】解：A选项抛出的篮球会下落是必然事件； B选项明天会下雨是随机事件； C选项任意三角形内角和是是不可能事件； D选项太阳从东方升起是必然事件； 故选：B． 4. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值2 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值3，当时，随增大而增大． 综上：正确的是选项B． 故选B． 5. 如图，点是上的点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键． 根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵，是弧的圆周角，是弧的圆心角， ∴． 故选A． 6. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键． 将代入方程得到关于m和n的等式，再化简代数式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴ ，即， ∴， ∴ ． 故选B． 7. 如图，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点的坐标是解题的关键．由已知抛物线的对称轴，与x轴的一个交点，可求另一交点，再结合函数图像确定时x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴，与x轴的一个交点， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∵抛物线开口向下， ∴当时，． 故选：A． 8. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，洪崖洞是重庆的标志性景点之一，第一天游客数量为30万人，第三天游客数量为33万人，则平均每天增长率为多少？设平均每天增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用-增长率问题，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 根据“第三天的数量第一天的数量”列方程即可． 【详解】解：设平均每天增长率为x， ∴ 第三天的数量第一天的数量，即． 故选：C． 9. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，连接．若的半径为6，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，由等边对等角，根据圆周角定理可得，即，易证是等边三角形，则；如图：过点C作于E，，根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点C作于E，则， ∴， ∴， 故选D． 10. 已知整式，其中为正整数，，且，下列说法： ①若，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的所有整式的和为； ③若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的性质，涉及系数严格递减且乘积为定值的多项式，需逐一验证各说法是否正确，说法①中时无满足条件的二次三项式；说法②中时所有整式求和结果为；说法③中时有两个二次三项式恒非负． 【详解】解：① ，即， 根据题意，且，5为质数， ∴可分解为或或，均不满足或， ∴无二次三项式，①错误； ②，根据15的正因数为， ∴，即一次多项式有：和， ，即二次三项式有：， ∴常数项求和：，一次项系数求和：，二次项系数为：5， ∴ 和为，②正确； ③，根据18 的正因数为 ， ∵二次三项式：且， ∴满足条件二次三项式有：和， 令，则，， ∴，即的值一定为非负数； 令，则，， ∴，即的值一定为非负数； 综上所述， 两者均恒非负，共2个，③正确； 综上，正确个数为2， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子里装有5个红球、3个白球、2个绿球，这些球除颜色外其余完全相同．从盒子中随机摸出1个球，则摸出的球是红球的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，掌握概率公式是解题的关键． 用红球数量除以总球数即可解答． 【详解】解：盒中总球数为个，红球有5个，则摸出红球的概率为． 故答案为：． 13. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，点为线段的中点，点为轴上任意一点，且的面积为6，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，掌握知识点是解题的关键． 连接，，推导出，则，求出，即可解答． 【详解】解：连接，，如图 ∵点C为线段的中点．轴， 轴， ∴， ∵， ∴或（舍去）， 故答案为：6． 14. 若反比例函数经过点，则关于的二次函数的图象与轴有___________个交点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，二次函数与x轴的交点问题． 根据反比例函数经过点求参数m，再计算二次函数的判别式，根据判别式的值判断与x轴的交点个数即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得． 即二次函数为， 其判别式， 因此二次函数图象与轴有个交点． 故答案为：． 15. 如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先证明是等边三角形可得，，如图：作直径，连接，则，，再说明，运用勾股定理可求得；如图：作于F，易得，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，且， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴，， 如图：作直径，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 如图：作于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，11． 16. 对于一个四位正整数，若它的各位数字都不为零，且十位数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数为“三生三世数”，例如：是一个“三生三世数”：又如不是一个“三生三世数”，则最大的“三生三世数”是___________；若将的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的四位数为数的“翻转数”，记作，例如：，其“翻转数”．若一个“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，设，若能被6整除，则所有满足题意的四位正整数的最大值与最小值的和是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，整式的混合运算，理解题意正确表示数量关系是关键．首先，根据“三生三世数”的定义，各位数字都不为零，十位数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，最大的“三生三世数”需千位数字最大，百位数字最大，因此千位取9，十位为6，个位取3，得到9963，设十位数字为，个位数字为，则千位数字为，百位数字为，计算，要求被6整除，即是6的倍数，化简为，结合的取值范围，的取值范围，枚举满足条件的对，得到对应的M值：，其中最大值为7943，最小值为4612，求和为12555，由此即可求解． 【详解】解：根据“三生三世数”定义， 设千位数字A、百位数字B、十位数字C、个位数字D， ∵各位数均不为零，且， ∴A取最大值9，则；B取最大值9，则， ∴最大的“三生三世数”为：， 根据题意，“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，则千位上的数为：，百位上的数为：， ∴， M的“翻转数”， ∴ ， ∵被6整除，即是6的倍数， ∴， ∴是6的倍数， 由题意得到，，， ∴取值范围，取值范围， ∴枚举所有对，满足是6的倍数的有：， ∴ 对应M值：；；， ∴满足条件的M中，最大值为7943，最小值为4612， ∴和为， 故答案为：①；②． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴． 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点在边上，平分，请完成以下作图和填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接对角线，点在边上，平分，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，_____①______． ． 平分， ____②_______． 平分， ______③______． ． ，___④_____， 四边形是平行四边形． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）用尺规作角平分线即可； （2）根据平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义逐步分析即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． ． 平分， ． 平分， ． ． ，， 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求该二次函数的图像与轴的交点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与面积的综合、坐标与图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）令得到关于x的方程求得x的值，再结合点在点左侧即可解答； （2）先求得、，如图：过点D作轴于点E，则，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ∵点在点左侧， ． 【小问2详解】 解：在中，令，则， ， ∵，点是抛物线的顶点 ， 如图：过点D作轴于点E，则， ． 20. 如图，在中，，点，分别在，边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转到， ∴，， 又， ∴， 在与中， ， ∴ （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，证明是解题的关键． （1）根据旋转的性质和已知条件利用证明即可； （2）根据平行线的性质和全等的性质即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 某校体育课外社团活动开始报名招新，设有足球、羽毛球、排球、乒乓球四个团队，规定每位学生只参加其中一个团队，并由学生自己抽签决定具体的团队类型． （1）小华抽到排球队的概率为___________； （2）小华和小敏都报名参加了这次体育课外活动，用画树状图或列表的方法求小华和小敏抽到同一个团队的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了简单问题的概率和树状图或列表法求概率，正确列表是解题的关键． （1）利用概率公式进行解答即可； （2）设足球、羽毛球、排球、乒乓球分别记为A、B、C、D，利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：∵设有足球、羽毛球、排球、乒乓球四个团队， ∴小华抽到排球队的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 设足球、羽毛球、排球、乒乓球分别记为A、B、C、D，下表列举出所有可能性出现的结果： 小敏 小华 A B C D A B C D 由上表可知，一共有16种结果，并且它们出现的可能相等，其中小敏和小华抽到同一团队的有4种，所以 答：小华和小敏抽到同一个团队的概率为． 22. 某玩具店推出一款亲民价格的玩偶、深受大众喜爱，据统计该玩偶平均每天可销售40件，每件盈利75元．为了尽快减少库存．店家决定采用适当的降价措施．经调查发现，每件该玩偶每降价1元，该玩具店平均每天就可以多售出这种玩偶2件． （1）若某天该玩偶每件降价5元，该玩具店当天可以获利多少元？ （2）在上述销售正常的情况下，为了尽快减少库存，每件玩偶降价多少元时，该玩具店的日盈利为4500元？ 【答案】（1）若某天该玩偶每件降价5元，当天可以获利元 （2）每件玩偶降价30元时，日盈利为4500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，有理数的混合运算的应用． （1）根据“每件该玩偶每降价1元，该玩具店平均每天就可以多售出这种玩偶2件”，用单件利润乘以销量即可； （2）设每件玩偶降价时，根据“每件该玩偶每降价1元，该玩具店平均每天就可以多售出这种玩偶2件”列方程求解，进而根据“尽快减少库存”作答即可． 【小问1详解】 解：（元） 答：若某天该玩偶每件降价5元，当天可以获利元； 【小问2详解】 解：设每件玩偶降价时，日盈利为元，由题意得： 解得： 因为要尽快减少库存，所以应多降价， 即 答：每件玩偶降价30元时，日盈利为4500元． 23. 如图1，在长方形中，，动点从点出发，沿着折线的方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动．设点运动的时间为秒（），记的面积为，长方形的面积与的面积之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 【答案】（1）， （2） 如图所示 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式． （1）根据长方形的性质得到，根据题意得到，求出，，即可求出关于的函数表达式，分当P在上时、P在上时两种情况，根据三角形面积公式即可求出关于的函数表达式； （2）根据解析式画出图象即可； （3）直接根据图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵长方形中， ∴ ∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动， ∴， ，， ，， 当P在上时，即时， ， 当P在上时，即时， ，． 综上所述：． 即，； 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图可知，当时，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在轴上有两个动点，，，且点在点的左侧，连接，当线段取得最大值时，求的最小值： （3）将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3） 或，理由如下： ∵， ∴平移后的解析式为：，，， 由，将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，得 ，，， ∴ ∴， ①当点K在上方时，如图 ∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联解， 得， 解得（舍去），， 当时，， ∴； ②当点K在下方时，如图，过点K作轴于点F， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则 ，， ∴， 解得（不符合题意，舍去） ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，一次函数与二次函数的图像与性质，图形的平移，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）待定系数法求二次函数的解析式的步骤，逐步计算求解即可； （2）先求出直线的解析式，设， 得到，推导出当时，取得最大值，此时，将作点关于x轴对称的点，将点向右平移1个单位到，连接与轴的交点即为点Q，此时取得最小值，求得，即可解答； （3）先推导出平移后的解析式为：，，，继而证明，分类讨论：①当点K在上方时，②当点K在下方时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得， 解得 抛物线的表达式； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则 ， ∴当时，取得最大值，此时， 作点关于x轴对称的点，将点向右平移1个单位到，连接与轴的交点即为点Q，如图， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，此时取得最小值， ， ∴． 【小问3详解】 略 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点H，连接，若，求证：； （3）在D点的运动过程中，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点D作交于点M， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）2 【解析】 【分析】（1）过点D作于点P，利用等腰直角三角形的性质及已知条件得出，通过解直角三角形求得，进一步得出的值； （2）过点D作交于点M，利用等腰直角三角形的性质得出，，由旋转的性质得出，证明出，，得出相关线段之间的关系，最后利用线段的和差关系即可得出结论； （3）先确定出点E的轨迹是与的夹角为的定直线l，再过点B作关于直线l的对称点，连接，与直线l交点，连接，得出的最小值，紧接着以为斜边作等腰直角三角形，点在上，通过等腰直角三角形的性质及勾股定理得出相关线段的值，并最终求得的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点P， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 中，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点D为上的动点，绕着D点逆时针方向旋转得到， 如图，当点A与点D重合时，将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，当点D在中点，即点时，将绕点逆时针方向旋转得到，此时点C和点重合， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，即与的夹角始终为， ∴点E的轨迹为定直线l， 如图，过点B作关于直线l的对称点，连接，与直线l交点，连接， ∴， ∴的最小值为， 如图，以为斜边作等腰直角三角形，点在上， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，利用轴对称求最短距离，全等三角形的判定与性质及勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $