重庆南川区　2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

数学三 数学共6页，满分150分，时间120分钟． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案．其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列中国古代传统图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 4. 对于的性质，下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，有最大值2 D. 当时，随增大而减小 5. 如图，点是上的点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，洪崖洞是重庆的标志性景点之一，第一天游客数量为30万人，第三天游客数量为33万人，则平均每天增长率为多少？设平均每天增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，连接．若的半径为6，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，，且，下列说法： ①若，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的所有整式的和为； ③若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 在一个不透明的盒子里装有5个红球、3个白球、2个绿球，这些球除颜色外其余完全相同．从盒子中随机摸出1个球，则摸出的球是红球的概率是___________． 13. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，点为线段的中点，点为轴上任意一点，且的面积为6，则___________． 14. 若反比例函数经过点，则关于的二次函数的图象与轴有___________个交点． 15. 如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则___________，___________． 16. 对于一个四位正整数，若它的各位数字都不为零，且十位数字比千位数字小3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数为“三生三世数”，例如：是一个“三生三世数”：又如不是一个“三生三世数”，则最大的“三生三世数”是___________；若将的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的四位数为数的“翻转数”，记作，例如：，其“翻转数”．若一个“三生三世数”的十位数字为，个位数字为，设，若能被6整除，则所有满足题意的四位正整数的最大值与最小值的和是___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点在边上，平分，请完成以下作图和填空： （1）如图，用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，连接对角线，点在边上，平分，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ，_____①______． ． 平分， ____②_______． 平分， ______③______． ． ，___④_____， 四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知二次函数的图像与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求该二次函数的图像与轴的交点坐标； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，点，分别在，边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 某校体育课外社团活动开始报名招新，设有足球、羽毛球、排球、乒乓球四个团队，规定每位学生只参加其中一个团队，并由学生自己抽签决定具体的团队类型． （1）小华抽到排球队的概率为___________； （2）小华和小敏都报名参加了这次体育课外活动，用画树状图或列表的方法求小华和小敏抽到同一个团队的概率． 22. 某玩具店推出一款亲民价格的玩偶、深受大众喜爱，据统计该玩偶平均每天可销售40件，每件盈利75元．为了尽快减少库存．店家决定采用适当的降价措施．经调查发现，每件该玩偶每降价1元，该玩具店平均每天就可以多售出这种玩偶2件． （1）若某天该玩偶每件降价5元，该玩具店当天可以获利多少元？ （2）在上述销售正常的情况下，为了尽快减少库存，每件玩偶降价多少元时，该玩具店的日盈利为4500元？ 23. 如图1，在长方形中，，动点从点出发，沿着折线的方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿射线方向运动，当点运动到点时两点同时停止运动．设点运动的时间为秒（），记的面积为，长方形的面积与的面积之比为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在轴上有两个动点，，，且点在点的左侧，连接，当线段取得最大值时，求的最小值： （3）将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点H，连接，若，求证：； （3）在D点的运动过程中，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 数学三 数学共6页，满分150分，时间120分钟． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案．其中只有一个是正确的．请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 如图：即为所求． （2）①；②；③；④ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【19题答案】 【答案】（1） （2）15 【20题答案】 【答案】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转到， ∴，， 又， ∴， 在与中， ， ∴ （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1）若某天该玩偶每件降价5元，当天可以获利元 （2）每件玩偶降价30元时，日盈利为4500元 【23题答案】 【答案】（1）， （2） 如图所示 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3） 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3） 或，理由如下： ∵， ∴平移后的解析式为：，，， 由，将抛物线沿轴向左平移2个单位后得到新抛物线平移后的对应点分别为点，得 ，，， ∴ ∴， ①当点K在上方时，如图 ∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联解， 得， 解得（舍去），， 当时，， ∴； ②当点K在下方时，如图，过点K作轴于点F， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， 设，则 ，， ∴， 解得（不符合题意，舍去） ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【25题答案】 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点D作交于点M， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $