离散型随机变量及其分布列、数字特征课件-2026届高三数学一轮复习

离散型随机变量及其分布列、数字特征 知识清单 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列常用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 知识清单 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi________0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝________． 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称E(X)＝___________________＝________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn ≥ 1 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 知识清单 (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________________为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝___________．(a，b为常数) ②D(aX＋b)＝________．(a，b为常数) aE(X)＋b a2D(X） 知识清单 【常用结论】 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 热点命题——1.分布列的性质 例1 (1)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m()k(k＝1，2，3)，则m的值为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 解析：由分布列的性质得 P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×()2＋m×()3＝＝1， ∴m＝. 热点命题——1.分布列的性质 (2)设随机变量X的分布列如下表 则P(＝1)＝________． X 1 2 3 4 P M 解析：m＝1－＝， P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＝. 热点命题——1.分布列的性质 方法归纳： (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 热点命题——1.分布列的性质 1　已知离散型随机变量X的分布列为 则常数q＝________． X 0 1 2 P 0.36 1－2q q2 1　已知离散型随机变量X的分布列为 则常数q＝________． 解析：∵P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，∴0.36＋1－2q＋q2＝1， 解得q＝0.2或q＝1.8.当q＝1.8时，1－2q＝－2.6<0，不符合题意，舍去， ∴q＝0.2. 热点命题——2.离散型随机变量的分布列及数字特征 例2 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3∶2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为p(0<p<1)． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当p＝时，设甲所得积分为 X ，求 X 的分布列及期望． 热点命题——2.离散型随机变量的分布列及数字特征 解析：(1)记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件A，由于每名选手获得冠亚军的概率都相等，则P(A)＝＝. (2)依题意X的可能取值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝p(1－p)3＝×(1－)3＝， P(X＝1)＝p2(1－p)3＝×()2×(1－)3＝， 热点命题——2.离散型随机变量的分布列及数字特征 P(X＝2)＝p2(1－p)2p＝×()2×(1－)2×＝， P(X＝3)＝p2(1－p)＝×(1－)×＝. 所以X的分布列为 所以X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． X 0 1 2 3 P 热点命题——2.离散型随机变量的分布列及数字特征 方法归纳： 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 热点命题——2.离散型随机变量的分布列及数字特征 2　某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： (1)李明在一年内领到资格证书的概率； (2)李明在一年内参加考试次数X的分布列和数学期望． 解析：(1)李明在一年内领到资格证书的概率为 P＝1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)＝0.976. 热点命题——2.离散型随机变量的分布列及数字特征 (2)李明在一年内参加考试次数X的分布列和数学期望． 解析：(2)X的取值分别为1，2，3. P(X＝1)＝0.6， P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28， P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12. ∴李明参加考试次数X的分布列为 所以X的期望为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52. X 1 2 3 P 0.6 0.28 0.12 热点命题——3.均值与方差中的决策问题 例3 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． 热点命题——3.均值与方差中的决策问题 (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； 答案：由题可知，X的所有可能取值为0，20，100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 热点命题——3.均值与方差中的决策问题 (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 答案：由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题． 热点命题——3.均值与方差中的决策问题 跟踪训练3　投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1　股票A收益的分布列表 表2　股票B收益的分布列表 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 热点命题——4.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 例4 设p∈[0，1]，随机变量X的概率分布如表，则(　　) A.E(X)＝1 B．E(X)随p增大而增大 C．D(X)＝ D．D(X)最小值为 X 0 1 2 P 解析：由期望公式可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，故A正确，B错误；因为D(X)＝12×＋22×－1＝，故C错误，D正确． 热点命题——4.均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 4　已知随机变量ξ，η的分布列是 下列选项中正确的是(　　) A．E(ξ)＝E(η) B．D(ξ)>D(η) C．当p增大时，E(ξ)递增 D．当p增大时，D(η)递减 ξ －2 0 2 P η 3 5 7 P C $