2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）

二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 考点目录 二次函数综合：相似三角形存在性问题 二次函数综合：角度问题 二次函数综合：面积问题 考点一 二次函数综合：相似三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图1：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式． (2)如图2，直线与轴正半轴交于点，且，点是直线上方的抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，在射线上取一点，使得，求周长的最大值及此时点的坐标． (3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，在对称轴右侧的抛物线上取一点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，若与相似，请直接写出点的坐标． 例2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 变式1．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 变式2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点和点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，是否存在使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究） 变式3．（2025·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离； (3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 二次函数综合：角度问题 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·重庆九龙坡·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接． (1)求三点的坐标； (2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标． (3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·重庆江北·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于，点、为轴上两动点（点在点上方），，连接、，当有最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，在上取一点，连接，使，将拋物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过作交直线于点，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 变式2．（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，若点P是位于直线上方抛物线上的一点，点Q、G是抛物线对称轴上的两点，连接、、、、．若，当面积取得最大值时，求的最小值及此时点Q的坐标； (3)将抛物线向左平移3个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴的交点为点E．点M为新抛物线上的一个动点，连接，，当，直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 变式3．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 二次函数综合：面积问题 例1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P是该抛物线的顶点，求的面积； (3)若点Q在该抛物线上，且的面积与的面积相等，求点Q的坐标． 例3．（24-25九年级下·湖北襄阳·月考）记二次函数的图像为抛物线，一次函数的图像为直线，与交于点、． (1)设与轴交于点，点在上运动，求的最小值及此时点的坐标； (2)作点关于轴的对称点，记为，连接交轴于点． （I）求点的坐标； （II）设坐标原点为，记与的面积之和为，求的最小值． 变式1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知抛物线（a为常数）经过点 ，过点作两条直线、分别交抛物线于点A、B和C、D，如图所示（点A、C在y轴左侧）． (1)求抛物线的表达式； (2)若点 、，求的值； (3)当直线垂直于y轴时，若四边形 的面积为，求的解析式． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点为抛物线对称轴上一点，作直线分别交抛物线于点（点在轴的左侧），连接．若的面积比的面积大，求点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，，点在抛物线上运动，连接，，． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)点从点运动到点的过程中（点与点，不重合），作点关于轴的对称点，连接，，若满足，求的面积 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题)专项训练 考点目录 二次函数综合：相似三角形存在性问题 二次函数综合：角度问题 二次函数综合：面积问题 考点一 二次函数综合：相似三角形存在性问题 例1.(25-26九年级上江西宜春期末)如图1：在平面直角坐标系中，抛物线"=ar-v5x+C与x轴交于点 A-35,0和点BV5.0,与y轴交于点C. 图1 图2 图3 (1)求抛物线表达式. (2)如图2，直线AD与y轴正半轴交于点D,且∠AD0=60°，点P是直线AD上方的抛物线上一个动点，过点P作 PEy轴交直线AD于点E,在射线ED上取一点F,使得PE=PF,求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标. ③)如图3，将原兆物线”=m-5x+C沿射线D方向平移4个单位长度，平移后抛物线”的对称箱与轴交于点 V,与直线4D交于点G,在对称轴右侧的抛物线”上取一点M,过点M作轴的平行线与抛物线”的对称轴交 于点H,若△AWG与△MNH相似，请直接写出点M的坐标. 【谷】0抛物线表达式为=方r-5r+? 25 ( 4V335 (2)APEF的周长最大为2：点p的坐标为3’6 6足米作的点y的标为5-，352、2+丽3-同 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 【详解】(1)解：将点4-35.0、点BV5,0代入抛物线y=ar2-5x+c, 1 Q=- 得0=27a-V3×-35+c,解得 2 9 0-3a-x/3+c c-2 改地物线表达式为=号-5x号 2 PEy (2)解： 轴， ÷∠PEF=∠ADO=60°， 若PE=PF, 则△PEF为等边三角形， 即△PEF的周长为PE长度的3倍， 故要求出PE的最大值， 4-5.0,m∠400=m0-05, …0D=3, 即点D的坐标为0,3到， 令直线1D的表达式为水=x+么， 将点4-35,0、D0,3到代入， 0=-33k+b 3 得 3=b ，解得 b=3 故直线D的表达式为= AD 3+3, 结合y +3、=-3 3 2 可得方程-}x2-5x+?=5 23x+3, 化简得x2+8 2x-3=0, 3 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 3 9W5 解得=3或 = 3， 做点P的横坐标取值范围为？<x<日 3, 令点p的坐标为mm-5m+别》 6, 当m4 25 3时，PE最大，其最大值为6， 1 ,935 此时-5m+-6, 74vV535 “点p的坐标为36， 此时aPEF的周长最大为3 25_25 62· (3)解：0D=30A=3V5 由勾股定理可得4D=VOD2+OA?=6 将移动方向进行分解，设其右移动m个单位，再向上移动个单位也满足题意， 4 m n 则ADOA0D' 解得m=2V5.”=2 沿4D方向移动4个单位，等同于向右移动25个单位，再向上移动2个单位， 移动抛物战表达式为=-2-5x-2+2。 化简得少= -x2+5x+ 13 2 2 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 此时函数对称轴为直线=V5】 则点N的坐标为V5,0 当=5，方= 3x+3=4 ∴点G的坐标为5,4， GNIIy 轴， ∠AGN=∠ADO=60°， :∠MHN=∠AOD=90° 若△ANG与△MNH相似，则△MWH应为含30°角的直角三角形， 令点M坐标为 对M的位置情况进行分类讨论： 当点M在x轴上方，且∠MNH=30°时，如下图： VA G O 此时Mm=n-6,H=+5n+ 2 tan∠MNH=tan30°=MH-V5 NH-3, 得方程a-同=5(+6+3）， 解得”=9或”=四 《舍去)， 当n时，2+5m+号=-3. 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 此时点M的坐标为V957-3到： 当点M在x轴上方，且∠MNH=60°时，如下图： H M O 此时MH=n-V5,H=)+V5m+ 2 :tan∠NH=tan60=M=V5】 NH 得方程a-=同0+*+》）. 解得m=35读”=- 3(舍去)， 当n=35时，一 +5m+号2， 此时点M的坐标为35,2， 当点M在x轴下方，且∠MNH=60°时，如下图： 地时Mm=-,=(0+5a号》-n 2 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 .tan /MNH =tam60MI= NH 符有程a--r-5a》】 解得=⑤ =3或n=-V3(舍去)， 当=g,5+号 115 11V58 此时点M的坐标为3,3： 当点M在x轴下方，且∠MNH=30°时，如下图： G A ONN M 北wa,-(++》- 2 :an∠MNH=tan30°=Ml-V3 NH 3, 将方--5-5》. 解得1=25+或”=25-（合去)， 6 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 当n=2w5+丽时，r+n+-3-5, 1 2 此时点M的坐标为2W5+V9,-3-57. 茶上满程的的准表原-，小、引5丽.- 例2.(25-26九年级上安徽淮南期末)如图，已知抛物线”=r+r+C与*轴交于1、8两点，与'轴交于点 C,D为0C的中点，直线4D交抛物线于点E(26),且C点坐标为0,4,4点坐标为-，0) /M B (1)求这条抛物线对应的函数关系式： (2)连接BD,试判断BD与AD的位置关系，并说明理由： ③)逢按8C交直线4D于点M,在直线4D上，是香存在这样的点M不与点“重合），使得以4、B、V为顶点 N( 的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（①y=-r2+3x+4 (2)BD⊥AD,理由见解析 ③)点V的坐标为2,6) 【详解】)解：点B2,6,C04,A-L,0)在抛物线=+br+c上， 4a+2b+c=6 则 c=4 (a-b+c=0’ 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 [a=-1 b=3 解得 c=4 这条抛物线对应的函数关系式为y=-r+3x+4， (2)解：BD⊥AD,理由如下， 令y=0,则-x2+3x+4=0, 解得x=-1或x=4 8点坐标为40) :D为OC的中点， C(0,4)A-1,0) .D(0,2 ÷AD2=1P+2=5,DB=2+4=20.AB2=(4+1)=25 ·AD2+DB2=AB2, :△ABD为直角三角形， ÷∠BDA=90°，即BD⊥AD: (3)解：：OB=OC=4,∠BOC=90°， ÷∠ABM=45°， BD⊥AD BD=DE=25 ∠AEB=45°， .∠AEB=∠ABM, 又，∠BAE=∠MAB, ·△AEBP△ABM, 即点E符合条件，点N与点E重合， 点V的坐标为26) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识及 综合应用知识、解决问题的能力. 例3.(2026上海徐汇一模)如图，抛物线+x+与鞋交于木B两点，与y相交于点C·已知 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 A-2,0)、D(4,-6) B D (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标： (2)将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E,射线BE交线段AD于点F. ①如果AD恰好平分∠CAE,求平移之后的抛物线的表达式； ②如果△DEF与△ABD相似，求平移的距离. 【答案10分式-2-6，顶点2-8 20y=r-2x-2:@DE= 3或5 【详解】1)解：将点机-2之0.D4-可代入物线y方+加+e得， 1 2 4-2b+c=0 ×16+46+c=6 1 b=-2 解得c=-6, 鹅物战的表达式为v方-2-6。 ·对称轴为直线x=2, 1 当x=2时，y=2×44-6=-8, M2,-8 “顶点 2)解：0对于抛物线y-2-6,令X=0得)=6， 2 ∴.C(0,-6) 9 二次函数综合（相似三角形存在性问题、角度问题、面积问题）专项训练 D(4,-6) 则CD∥x轴，且CD=4, 过A作AG⊥DC,交DC延长线于点G, B GC M A-2,0),D4,-6 ..AG=DG=6, ∠ADG=45°， 由题可知点D向上平移到点E, 则DE∥y轴，即DE⊥CD, ∠ADE=90°-∠ADC=45°， ·AD平分∠CAE, ∴.∠CAD=∠EAD, 在△ACD和△AED中， ∠CAD=∠EAD AD=AD ∠ADC=∠ADE' ,△ACD≌△AED(ASA .CD=DE=4, ∴点D向上平移4个单位到点E,即抛物线向上平移4个单位， 平移之后的航物线的表达式为-2x614 x2-2x-2: 2 ②解：设抛物线向上平移了t个单位， E(4,-6+t) 令y=号x-2x-6=0,得x=-2或6， 2 B(6,0) 10