2.5二次函数与一元二次方程 随堂练习 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

2.5二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数图象如图所示，则方程的解是（　　） A． B． C．或 D．或 3．二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与因变量y的部分对应值如表格，关于这个二次函数的图象下面说法：①抛物线的对称轴为y轴；②抛物线的开口向下；③抛物线与y轴的交点坐标为；④当时，，其中正确的有（　　） x … 0 2 3 4 … y … 7 3 1 3 7 13 … A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（　　） A． B．， C．， D．， 5．若点在抛物线上，则下列结论正确的（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．②③ 8．如图，已知二次函数，它与轴交于、，与的负半轴交于，顶点在第四象限，纵坐标为，则下列说法：①若抛物线的对称轴为，则；②；③为定值；④．其中正确的结论个数有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．已知二次不等式的解集为或，则下列结论：①②③④的解集为或，其中错误的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．如图，函数经过点，对称轴为直线：；；；；若点、在抛物线上，则；（为任意实数），其中结论正确的有（　　） A． B． C． D． 11．对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 12．已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（ ） A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题 13．若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是　 　． 14．已知抛物线与轴有且只有一个交点，则　 　． 15．如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是　 　． 16．抛物线与坐标轴的交点个数为　 　个． 17．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②，③； ④方程的解为； ⑤．其中正确的结论有　 　（填序号）． 三、解答题 18．如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 19．设二次函数（a是常数）． （1）若该函数图象经过，求函数的表达式； （2）若该函数图象的顶点在x轴上，求a的值． 20．如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求点的坐标． 21．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若所围成花圃的面积不小于20平方米，直接写出x的取值范围． 22．已知二次函数的图象与直线相交于轴上的点轴上的点．顶点为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）现将抛物线向左平移个单位，当抛物线与有且只有一个公共点时，求的值． 23．已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)， 其中a， b为两个不相等的实数. （1）当a=0、b=3时，求此函数图象的对称轴； （2）当b=2a时， 若该函数在0≤x≤1时， x的增大而减小； 在3≤x≤4时， y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若点A(a， y1)， B(2+b2， y2)， C(b， y3)均在该函数的图象上， 是否存在常数m，使得 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 24．在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求出t的取值范围． 参考答案 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C 11．B 12．D 13． 14．9 15． 16．1 17．③⑤ 18．（1） （2）米 19．（1） （2） 20．（1） （2） 21．（1）解：由题意得， ∵，即， ∴自变量的取值范围为； （2）解：当时，解得，， 由函数图象可得，． 22．（1）解：解：∵，令，则， 令，则， ∵与x轴交点，与y轴交点， ∴经过， ∴ ， 解得， ∴二次函数的解析式为： （2）解：∵ ∴抛物线向左平移m个单位的新抛物线解析式为：， ∵新抛物线与有且只有一个公共点， ∴经过点， ∴ ∴ （舍去），， 即 23．（1）解：当a=0、b=3时， 二次函数. 可化为： ∴此函数图象的对称轴为 （2）解：当b=2a时， 二次函数. 可化为： ∴抛物线对称轴为 ∵3＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵在0≤x≤1时， y随x的增大而减小； ∴a≥1， ∵在3≤x≤4时， y随x的增大而增大； ∴a≤3， ∴1≤a≤3. （3）解：∵若点 均在该函数的图象上， y y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b2-ab； 整理得： ∵a，b为两个不相等的实数， ∴a-b≠0， 解得： m=4. 24．或 学科网（北京）股份有限公司 $