寒假精准练：正多边形与圆2025－2026学年苏科版数学九年级上册

2026年苏科版数学九年级上册寒假精准练：正多边形与圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.正十边形的中心角度数是(    ) A. B. C. D. 2.一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的外接圆半径是(    ) A. B. C. D. 3.我国魏晋时期的数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来估算圆周率的值．如图，的半径为，运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积来估计的面积，可得的估计值为若用圆内接正八边形进行估计，则的估计值为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，是正五边形的外接圆，点是的一点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，是正五边形的外接圆，点为上的一点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，正五边形内接于，连接、，则的大小是  (    ) A. B. C. D. 11.如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则值为(    ) A. B. C. D. 12.如图，经过正六边形的顶点、，则弧所对的圆周角等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13.已知正六边形的外接圆的半径为，则该正六边形的边心距为        ． 14.如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是，则它的外接圆圆心的坐标是          ． 15.如图，、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心若，则这个正多边形的边数为          ． 16.如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则           填“”“”或“”．    17.如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点，则的长为          ． 18.如图，在正六边形中，，点在边上，且若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，将八等分，得到，将十二等分，得到，连接若线段是的内接正边形的一条边，试探究的值． 20.本小题分 如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． 求的度数； 求正六边形与正方形的面积比． 21.本小题分 如图，正五边形内接于，为上的一点点与点不重合，求的度数． 22. 本小题分 一个正多边形的每个内角都是相邻外角的倍，求这个正多边形的边数． 23.本小题分 如图，已知，分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，，正边形的边，上的点，且，连接，． 求图中的度数； 图中的度数是          ，图中的度数是          ； 试探究的度数与正边形的边数的关系．直接写出答案 24.本小题分 用无刻度的直尺完成下列画图． 如图，的三个顶点在上，，，是的中点．先分别画出，的中点，，再画的内接正五边形； 如图，正五边形五个顶点在上，过点画的切线． 25.本小题分 如图，已知是的内接正三角形，点为上一动点，求证：；    如图，四边形是的内接正方形，点为上一动点，求证：； 如图，六边形是的内接正六边形，点为上一动点，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意得，正十边形的边数， 根据正多边形中心角的计算方法，中心角度数为， 故选C． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解：如图，连接，． 是正五边形， ， ， 故选：． 连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5.【答案】  【解析】解：由题意，， ， 故选：． 根据正多边形的中心角，求出即可． 本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6.【答案】  【解析】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：． 连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7.【答案】  【解析】如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示．    正六边形内接于， 是等边三角形． 的周长是， 故选： 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形． 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为． 【解答】 解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为， 故选C． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接、， 五边形是的内接正五边形， ， ， ， ， 故选：． 根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 11.【答案】  【解析】如图所示，过点作轴于，连接原点为正六边形的中心，，，是等边三角形，，，设，则，，，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，点在双曲线上．又点也在双曲线上，，解得或舍去，故选A． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形与圆、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键根据正六边形的性质求出，，，求出，，求出，求出，根据圆周角定理求出即可． 【解答】 解：连接、， 六边形是正六边形， ，，， ， 同理， ， 同理， 在四边形中，， ． 故选C． 13.【答案】  【解析】解：如图，正六边形的外接圆的半径为，连接，，过点作于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 该正六边形的边心距为． 故答案为：． 连接，，过点作于点，证出是等边三角形，进而即可求得答案． 本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】如图，连接、、，过点作于点如图，连接、，过点作于点在图中，，，，，，由勾股定理得，，，在图中，，，为等边三角形，．，，，，，，，．    17.【答案】  【解析】略 18.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键． 设正六边形的中心为，过点，作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段是，连接，，过点作于点由正六边形的性质得出，，，进而得出是等边三角形，，由，得出，由，得出，进而求出，，再求出，利用勾股定理求出，即可求出的长度． 【解答】 解：如图，设正六边形的中心为，过点，作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段是，连接，，过点作于点． 六边形是正六边形，，中心为， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 19.【答案】连接、由题意，得的度数为，的度数为，的度数为，线段是的内接正二十四边形的一条边，  【解析】略 20.【答案】解：连接，如图所示： 在圆内接六边形中，是正三角形， ， ； 设正六边形的边长为， 则三角形的边上的高， 则正六边形的面积为：， 正方形的面积为：， 正六边形与正方形的面积比：．   【解析】本题考查了正多边形和圆，求得三角形的面积是解题的关键． 根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出是正三角形，继而可得为等腰三角形，即可得出答案； 设正六边形的边长为，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可． 21.【答案】解：连接，， 正五边形内接于， ， ．  【解析】由正多边形的中心角相等求出，由圆周角定理即可求出的度数． 本题考查圆周角定理，正多边形和圆，关键是掌握圆周角定理，正多边形的性质． 22.【答案】解：设多边形的每个外角的度数为，则其内角为， ， 解得：， 即这个多边形是：， 这个正多边形的边数是．  【解析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，依据多边形的外角和公式即可求解． 本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化． 23.【答案】【小题】 解：． 【小题】 【小题】 的度数与正边形的边数的关系为．   【解析】 略  略  略 24.【答案】解：连接并延长交于，连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，如图： 点即为中点，点即为中点，五边形即为的内接正五边形； 理由：由圆和等腰三角形的对称性可知为中点； 是中点， 为重心， 为中点； ，， ，，的度数为 为中点，为中点； ， ， ， 五边形即为的内接正五边形； 延长，交于，连接交于，连接，并延长交于，过，作直线，如图： 直线即为所求； 理由：由圆和正五边形的对称性可知，为的中点， 正五边形每个内角为， ， ， ， ， ， ，， ≌， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线．  【解析】本题考查的是正多边形与圆，切线的判定，全等三角形的判定与性质有关知识 连接并延长交于，连接交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，点即为中点，点即为中点，五边形即为的内接正五边形； 延长，交于，连接交于，连接，并延长交于，过，作直线，直线即为所求． 25.【答案】【小题】 如图，延长至点，使，连接．、、、四点共圆，．，是等边三角形，又，是正三角形，，又，，．、为正三角形，，，，． 【小题】 如图，连接、，过点作交于点．，．，，又，，，． 【小题】 证明：如图，过点作于点，在上截取，连接．，，，，，又六边形是的内接正六边形，，，，．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $