江西赣州市2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷参考答案 一、选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 6 8 B D C D D 8.【解析】因为平面a的方程为2x+y-二+3=0，所以平面a的一个法向量为n=(2,1,-1), 由题意可得，平面x-y+2:-1=0的一个法向量为n=(1,-1,2), 平面x+2y-二+2=0一个法向量为2，=1,2，-1)， 设直线l的方向向量为v=(x,y,), 因为直线l是两平面x-y+2:-1=0与x+2y-二+2=0的交线，所以v⊥2，v⊥n,, 则有 f.2=x-y+2:=0, vh2=x+2y-2=0, 取x=1,则y=-1,二=-1，故v=1,-1,-1), 记直线l与平面a的夹角为8， .sin=cos<v,n 2V2 故答案为D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABC BCD AD 11.【解析】对于A,由题意可知，1P|+PE卡2a,|PF|-|PF=2, 得引P=a+m,|P=a-,故A正确； 对于B,若9=90，则4c2=a+m'+a-m2,化简得a2+㎡=2c2,即+m =2， +乐后凯)品)+3-2 当且仅当=加 m,即a=m时，等号成立， 这与a>m矛盾，所以e+e2>2,故B错误： 对于C,△PFF中，若6=60°，设椭圆和双曲线的半焦距为c, 根据余弦定理，4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m(a-m, 整理为4c2=a2+32, 4c2d42d,,数c错误： 4 gg 33c2>3 对于D,在椭圆中， 2 PFI PF,I cos0=PE+PE -FF,P2=(PE+PF,)2-2 PE PE-FE =4d2-4c2-2 PFPF, 2b2 整理为PRN PEH1+cos日 在双曲线中， 2 PFI PF I cos=PF+PF-FE=(PFI-PE 2+2 PFI PF-FF, =4m2-4c2+21Pr‖PF2l, 整理为PKI PR,H1-cOs61 2n2 所以 2b2 2n2 21-cos8 2sin20 即 2 1+c0s01-c0s0 21+cos0 tan:0 2c0s2 而0号受则m台，放D正：放答架为D, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-20 13.x2+(y-1)2=2 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解)因为3r的=项式通项为，=CGy =(-13”-Cx3m-4”,…3分 由题知r=3时，3n-4r=0,解得n=4, …6分 所以常数项的值为T,=(-1)343C=-12 …8分 (2)由1)知，令x=1,得到3x1 =(3-1）4=16,…12分 x 所以展开式中所有项的系数之和为16.… …13分 【评分细则】 第二问也可写出 的展开式，进而求得展开式中所有项的系数之和，只要最终答案正确均给 分 [×2ax2b=8N2, 16.解(1)由题得}c2=a2-b, 3分 r9 [a=22, 解得b=2, …6分 c=2, ·椭圆C的标准方程为 .y -=1. …7分 8 (2)由(1)知椭圆C的右焦点坐标为F(2,0), .点M,N所在直线方程为y=x-2.… 9分 x+上=1 联立 84,消去y并整理得3x2-8x=0.… 11分 y=x-2 8 设M(,W,),则x=3,=0, …13分 Wfi+Is-%F28-0-82 3 …15分 3 【评分细则】 第二问也可联立方程后，MWV1+2V(化-x)-4xx,求得结果，只要最终答案正确均给分. 17.解(1)取PC中点N,连接N,DN, ,M,N分别为PB,PC的中点， .MN∥BC,MN=BC,. …1分 2 因为四边形ABCD是矩形，E是AD的中点， 1 所以DE∥BC且DE=BC, …2分 2 故DE∥N且DE=MN,则四边形DEMN为平行四边形，…3分 .EM∥DN, …5分 又EMt平面PCD,DNc平面PCD, 所以EM∥平面PCD.… 6分 (2)因为PA=PB=BC=2,PA⊥PB, 所以△PAB是等腰直角三角形， 又AD⊥平面PAB, 故以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为二轴，如图建立空间直角坐标系O-, …7分 则P(W2,0,0),C(0,√2,2)，E(0,-√2,1)，B(0V2,0),…9分 则PC=(-√2，√2,2)，PE=(-√2，-√2,1)，PB=(√2，√2,0)， …10分 PC.2=-√2.x+V2y+2=0 设=（化y,)是面PCB的一个法向量，则有 PE.=-V2x-2y+:=0 取x=-3,则y=1,三=-22，故=(-3,1，-2W2), …11分 PC.2,=-V2a+√2b+2c=0 设，=(a,b,c)是面PBC的一个法向量，则有 PB.2=-V2a+√2b=0 取a=1,则b=1,c=0,故n,=1,1,0), 12分 记平面PCE与平面PBC的夹角为O, 则cos0=cos<,4为%：--3+1=1 h‖2，l18x√23' …13分 ·sn82W2 所以平面PCE与平面PBC夹角的正弦值为2 …15分 3 2 18.解(1)甲得60分的概率为 128 C×7 …2分 甲得80分的概率为号×含×行271 2112 …4分 8.210 甲获奖的概率为 …5分 272727 (2)由题意知：甲累计得分X的可能取值有0,20,40,60,80，…6分 以r=0= x=0=-号 Px-0)日 X的分布列为： X 0 20 40 60 80 P 1 8 4 8 …11分 :x=0×1+20x+40×1+60x2+80×1-40. …12分 P 4 4 4 8 (3)根据题意得，得分不低于60分即可获奖， 由(1)知，甲获奖的概率为 0 7 自②Z获奖的率为子c-》片计[青 …13分 乙识得0分的率为(-》片号 …14分 所以甲、乙两人同时获奖的概率为27×836 1035 …15分 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为27×454' 211 …16分 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，甲累计得分比乙高的概率为4= 515 …17分 5 19.解(1)因为点M到焦点F的距离为2，所以点M到抛物线准线的距离为2， “抛物线的准线方程为x=-二，点M的横坐标为弓， 3 2 2 3+卫=2，解得p=1 …2分 22 .抛物线的方程为y2=2x.… …4分 (2)①设P点的坐标为(a,b)(a≠0，b≠0)，记两切点A,B的坐标为(5，)，(x2,2), 则PA,PB的方程分别为)%=x+,y2=X+x2,…5分 将点P(a,b)代入，得 by=a+x by,=a+x2 故点A(,y),B(x,y2)满足方程by=x+a, 所以直线l的方程为y=x+a,… …7分 k=，k=} b 1 …8分 a b 由PO11知， b1 =-1, a b .☑=-1，… …9分 1 1 所以直线l的方程为y=c+a=方-. …10分 b 故直线1与x轴的交点H是定点L,0). …11分 b ②由①知，直线PO的斜率k=-b,直线PH的斜率k,=- 2 …12分 设∠OPH=a,则au为锐角， b PG 1+kk, 1+(-b 2+b22 且 +b≥2 GH tan a ky-k2 21b1=25, -b+ 2 当且仅当局，即6=士V时，等号成立 …16分 所以 PGI GHI 的最小值为22. 17分 1 (法二)由①，直线1的方程为y=x-), 直线OP的方程为y=-bx, 12分 1 x- x= y= 联立 b ,解得 1+b2 y=-bx -b’ =1+ 1b 所以点G的坐标为 1+b21+b2 ·13分 由①，H0,0),P(-1,b), PG为点P到直线1的距离，直线l的方程为x-y-1=0, G-上1--2+b v1+b2 +b (也可用两点间距离公式PG 2+b2)…14分 +b2 又GH= -b)2 +1+b6 …15分 V1+b2 2+b2 得PCh4E 2+b22 V1+b2 当且仅当闪，h=士2时，等号成这，16分 PGI 所以G的最小值为25. …17分赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 2026年2月 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟， 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.点(2，-3)到直线3x-4y-6=0的距离是 A.1 B.2 C.3 D. 14 5 5 5 2.己知m=(1,-2,4),n=（x,1,1),m⊥n,则实数x的值为 1 A.-2 B.2 C.2 D.2 3.椭圆二+上-1的焦距为 10064 A.6 B.12 C.16 D.20 4.若圆0：x2+y2=16与圆02：(x-5)2+y2=r2(r>0)外切，则r= A.1 B.2 C.9 D.1或9 5.已知m,n,1为三条不同的直线，a,B,Y为三个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若m∥n,nca,则m∥a B.若a⊥B,a∩B=l,m⊥l,则m⊥o C.若a⊥B,l⊥B,则l∥a D.若a⊥Y,B⊥Y,a∩B=l,则1⊥Y 6.经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是 A.x+y-9=0 B.x-y-3=0 C.x+y-9=0或x-2y=0 D.x-y-3=0或x-2y=0 7.从0,2,4中任取2个数字，从1,3,5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有 A.216个 B.162个 C.108个 D.180个 8.方程Ax+B=O(A≠O)可以表示数轴上的点，平面直角坐标系xOy中，方程Ax+By+C=0(A、B不同 时为0)可以表示平面内的直线，空间直角坐标系O-z中，方程Ax+By+Cz+D=0(A、B、C不同 时为0)可以表示空间内的平面.过点P(x,%,zo)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程可表示为 a(x-x)+b(y-,)+c(z-zo)=0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面u的方程为2x+y-z+3=0, 直线1是两平面x-y+2z-1=0与x+2y-z+2=0的交线，则直线1与平面α所成角的正弦值为 A.6 B.V6 c.3 D.2 18 9 6 3 2025-2026学年度高二（上）数学期末试卷第1页（共4页) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中不正确的是 A.平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹是抛物线 B.平面内与两个定点F(-1,0)和F,(L,0)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C.平面内与两个定点F(-1,0)和F,,0)的距离之差等于)的点的轨迹是双曲线 D.平面内与两个定点F(-1,0)和F(L,0)的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10.下列结论正确的是 A若随机支益X80引则Bx-号 5 B.离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=)=7PCX=0),则PX=0)日 3 C.随机变量XNL,o),若PX>0=,则P0<X<2)=2 D.已知随机变量X,Y满足X+2Y=6,若X-84》则E=2,DY-号 4 11.如图，p是椭圆C:2+2三a>b>0)与双曲线C:xy m京=(m>0,n>0)在第一象限的交点， ∠FPF2=0,C,C2共焦点，C,C2的离心率分别为只，e2,则下列结论正确的是 A.PF=a+m,PF2 =a-m B.若0=90°，则e2+e2的最小值为2 .114 C.若0=60，则2+店3 .0_n D.tan 2 b 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(x-1)展开式中x的系数为 13.经过M(-1,0),N(L,0)两点，且圆心C在直线x+y-1=0上，则圆C的方程为 14.赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研 究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙 筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽 出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 2025-2026学年度高二（上）数学期末试卷第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) x 的展开式中，第4项为常数项. (1)求n的值和该常数项的值； (2)求展开式中所有项的系数之和. 16.(本小题15分) 已知离心率为5的椭圆C:。+广 :云+存=1(a>b>0)的顶点所构成的四边形的面积为8反，过右焦点且斜 率为1的直线交C于M,N两点. (1)求C的方程： (2)求|MW|. 17.(本小题15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB, PA⊥PB,E是AD的中点，M是PB的中点. (1)证明：EM∥平面PCD; (2)若PA=PB=BC=2,求平面PCE与平面PBC夹角的正弦值. M 2025-2026学年度高二（上）数学期末试卷第3页（共4页) 18.(本小题17分) 某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为20分， 若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于60分即可获奖.已知甲答对第 、三题的概率分别为}，子，子，乙答对第一、二、三题的概率均为，且甲、乙每次答对与否画 不影响. (1)求甲获奖的概率； (2)求乙的累计得分X的分布列和期望； (3)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率， 19.(本小题17分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=2pxP>0)上一点M的横坐标为多，且点M到焦点F的距 离为2. (1)求抛物线的方程； (2)P是不在坐标轴上的一个动点，过P可作抛物线C的两条切线，两切点连线1与PO垂直.设直 线l与PO,x轴的交点分别为G,H. ①证明：H是一个定点； ②求G1 的最小值 GHI 2025-2026学年度高二（上）数学期末试卷第4页（共4页)