江西赣州市2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷参考答案 2026年2月 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 B C B D D D ABC BD ACD 8.【答案】D 11 3 23 33 设f(x)=xe+ln(1-x),0<x<1, 则∫')=+1)c+.1-e+1 x-1x-1 设h(x)=(2-l)e+1,0<x<l,则(x)=(x2+2x-1)e, 令K(x)<0,得0<x<√2-1， 所以函数h(x)在(0，V2-1)上单调递减，又h(O)=0, 所以当xe(0,2-1)时，h(x)<0,则f'(x)>0, 此时函数f(x)在(0，V2-1)上单调递增，又f(0)=0, 所以0，则6-a+hn-》o,即b>a: 5 >e3,则c>b, 9 所以c>b>a 故选：D 11.【答案】ACD 【解析】对于A述项：由P(0,2)有号=2，即p=4,放A正确。 对于B选项：由已知可令A(xy),B(x,y),过F的直线为：y=c+2, y=x+2 联立方程组 =8),消y有：2-8-16-0，由韦达定理有 x+x=8k 5x2=-16 故男为=苔苓-34，又因为=y+2B叫=+2， 8864 所以AF+9BF=(y+2)+9(y+2)=(y+92)+20, 又因为%>0，y2>0, 4的+9B5≥2y×9y)+20=32,当且仅当9=，即为二2时取等号起 对于C选项：令P(x)为抛物线C上任意点，即y= 8 圆(x-2)2+(y-4)}2=8的圆心为H(2,4), 则PH=(x-2)2+(y-4)}2=x2-4x+4+ 4x+20 2025-2026学年度高三（上）数学期末答案第9页（共10页) 令/)-若420，有r)-活4 由f'(4)=0且f'(x)为单调递增，有f(x)在(-0,4)单调递减，在(4，+)单调递增， 又因为f(4)=8,所以PH≥2√2，同时当且仅当x=4即P(4,2)时，PH=2W2,所以C正确. 对于选项D:由题意易得以OD为直径的圆的方程为：x2+(y+2)2=4设 P,Q两点坐标分别为(，n),(x,y)则D0=(x,y+4),DP=(m,n+4), 又因为D,P,三点共线，所以D回=D丽(2>0)，所以有m2+(+4)2m2+(n+4)=8, 8 8 8 所以九= ㎡+n+4㎡+[n+2)+2可了m0+2)14a+2+4:因为P(mn)在圆上.所以 8 2 m2+(n+2)2=4,所以元= 4+4(n+2)+4n+41 x=2m= 2 1 n+4 所以有 y+4= 20n+4)=2 n+ 所以点2在直线y=-2上. 取AB的中点为H,分别过A,B作直线y=-2的垂线，垂足分别为M,N, 取MN的中点为K,连接HK,有HK= AM+IBN, 由抛物线的定义有AF=AM,BF=BN, 2 故HK= lAMl+IayI_F]+lBrl-Bl, 故以AB为直径的圆与直线y=-2相切，故∠AQB的最大 2 值为？. 所以D正确.所以答案为ACD. 12.【答案】178 13.【答案】3 14【答案】6 【解析】由已知得B,D均在以A,C为焦点，长轴长为8的椭 圆上，在平面四边形ABCD中，过B作BH⊥AC于H,连接 DH,在三棱锥P-ABC中连接BH,PH,由于PB⊥AC, BH⊥AC,且PB∩BH=B,所以AC⊥平面PBH, 故AC⊥PH,由已知得AC⊥DH,又因为PHC平面PBH, 由于B,D互异，则点B,D是关于AC对称的两点， 令B川=t则PH=t2<t≤2W5),由于有AC⊥平面PBH,A1 前以-s+g吉4Csas言ag· 取K为PB的中点，则R1PB,S—PAK-×xF,由于B,D均在以4C为焦 点，长轴长为8的椭圆上，当H取AC中点时PH川=t最大即 =P州孤=分4xF4≤×4×25-4=4万 2025-2026学年度高三（上）数学期末答案第10页（共10页） 即4C小5=号9≤×4N反-165时三楼维户-4BC为校长为4的正四面体，令 1 15.【解析】(1)因为cosB= 2c+b -,所以2 acos B=2c+b, 2a 由正弦定理得2 sin Ac0SB=2sinC+SiB,…2分 又$inC=sin Aco0sB+C0 s Asin B,…4分 1 所以c0sA= …5分 因为4∈(0，x),所以4=2如 …6分 3 (2)因为AD为角A的角平分线，由SA4Bc=SABD+SMCD, 所以bcsin-昌 sinbADsnADsin …8分 32 3 因为AD=1,解得bc=b+c①.…. ………9分 又a=2√3，由余弦定理知12=b2+c2+bc, 从而12=(b+c)2-bC②.… …11分 由①②解得bc=4,… …12分 从而△ABC的面积为 SA4B2号bc8SinA=V3.…13分 16.【解析】(1)证明：如图，取AB的中点为O,连接PO,CO. 因为PA=PB=√2，O为中点，所以PO⊥AB.…2分 因为底面ABCD是菱形阻∠ABC3所以COL4B,……4分 又因为PO∩CO=O,POC平面POC,COc平面POC,所以AB⊥平面POC,…5分 又因为CPC平面POC,所以AB⊥PC.…6分 (2)如图，连接MQ,CQ,则平面CMQ∩平面PBD=MQ, 又因为BD∥平面CMQ,则BD∥MQ. 在△PBD中，由M为中点得Q也为中 点，… …8分 由(1)知PO⊥AB,又因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面ABCD,所以 PO⊥平面ABCD, 即PO⊥OC,因为PO⊥BO,CO⊥OB,故OP,OB,OC 两两互相垂直. 故可以建立直角坐标系如下：以为O坐标原点，OC,OB, OP方向分别为x轴，y轴，二轴正方向，建立直角坐标系 O-x2, 则A(0,-1,0),B(01,0),C3,0,0,P(0,0,1) D(V3,-2,0: …10分 2025-2026学年度高三（上）数学期末答案第7页（共10页) a-时》 11 令平面MC9的一个法向量为n=(x,y,),则 nC0=0,即 -√3+y+ z=0, n.CM=0. √51 令x=5, x-y+z=0 2 2 故y=1,s=5,即n=V31,5). …12分 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), …13分 n.m 5529 故cos(n,m)= √29 29 故平面MC0与平面ABCD夹角的余弦值为V2四 …15分 29 17.【解折】(1)有已知有X-B4) 即rux=-c3 (0≤i≤4，ieN)…2分 :Px=0-3) rw-D-c P(X=2)=C 得grx==器 Prx=4=- 则X的分布列如下： X 0 1 2 P(X) 1 8 8 32 16 81 81 27 81 1 …4分 故EX)=0x1x8+2x83x32+4×16_8 …5分 81811 27 81813 ②（方法1）当n=5时记系统G中正常工作的元件数为随机变量Y，,Y~B 记n=4时记系统G的可靠性为P,记n=5时记系统G的可靠性为P, 做gr-列trx利9 …6分 P=P(Y=3)P(Y=4)+P(Y=5) -周c,+3 2025-2026学年度高三（上）数学期末答案第8页（共10页） =80+80+32=192-64 …9分 24324324324381 16644864 故R-B=2781818别 <0, 故n=4时增加一个量子芯片元件即=5，能提高系统G的可靠性.…10分 (方法2)记事件A为新增加的这个量子芯片元件正常工作，当=5时记系统G中正常工作的元件数为 随机变量Y,记n=4时记系统G的可靠性为P,记n=5时记系统G的可靠性为P, .2 …6分 则E=P(Y≥3)=P(A)P(X≥2)+P(AP(X≥3) =P(A)[P(X=2)+P(X≥3)]+P(AP(X≥3) 即E=P(A)P(X=2)+P(A)P(X≥3)+P(AP(X≥3) (P(x-2)Px 即A-PX=2)+号R+1-}-Px=2)+R>R… …9分 故n=4时增加一个量子芯片元件即n=5,能提高系统G的可靠性. …10分 nad-be)2 (3)由己知有X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =100×(45×15-30×10)2 …12分 55×45×75×25 ≈3.03 …13分 X2<6.635 …14分 故没有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. …15分 cv2 18. 【解析】(1)令F(c,0)(c>0),由已知有 a …2分 1 1 -bc= 2 [b=c=1 解得 a=√2 所以椭圆的方程为+少工.…4分 (2)证明：由(1)有B(0,1),F(1,0),故直线BF的方程为：y=-x+1, y=-x+1 故联立方程组 4 x2+2y2=2 化简得：3-4=0，解得x=0或x-子版 3'-3 …6分 故线x12wy2-0有写2(》2-0.2x-少-3=0. 4 [2x-y-3=0x=2 联立方程组 有 y=1 {y=1即P(2,1. …8分 2025-2026学年度高三（上）数学期末答案第9页（共10页） 即FB=（-1,1,FP=(（1,1) 由FBFP=0有FB⊥FP.…9分 (3) S- FN 证明如下： S,FM （方法》不令M6则=产志=产 由己知可令直线：y=k(x-2)+1,联立方程组： y=k(x-2)+1 x2+2y2=2 消y化简得：（1+2k2）x2+4k(1-2k)x+8k(k-1)=0…11分 + 4k(1-2k) 由根与系数的关系有 1+2k2 8k(k-1) xX,=1+2k2 放6k=片上=[+0-2][+1-2】 x-1x2-1 (x-1)(x-1) k2xx2+k(1-2k)(x+x)+(1-2k)月 xx32-(x+x2)+1 =1 …13分 如图因为tam∠TFM tan∠TFN-tan∠TFM 0,A7 …15分 S-FN FTsin∠NFT_lFN] 故S2 …17分 |FMFT sin.∠MFT|FM （方法2：)由已知可令直线1：m(x-1)+y=1,其中m+n=1, 由x2+2y2=2有[(x-1)+1+2y2=2 (x-1)2+2(x-1)+1+2y2-2=0即 (x-1)2+2(x-1)+2y2-1=0 m(x-1)+y=1 联立方程组： (x-1)2+2(x-1)+2y2-1=0 有(x-1)+2(x-1)[m(x-1)+w]+2y2-[m(x-1)+w]=0, 2025-2026学年度高三（上)数学期末答案第10页（共10页） 化简得(2-n2)y2+2n(1-m）(x-1)y+(（1+2m-m2)(x-1)2=0…11分 (x-12 由根与系数的关系有所k,=1+2-m 2-n2 又由于m+n=1有k-无，=1+2m-m_1+2m-m =1 2-n2 2-(1-m)月 …13分 如图因为 tan∠TFM -1-4+店 -+1 1-k厂1-k 由kk2=1有 tan∠TFW-tan∠TFM= 1+kk+1 =0,故∠NFT=MFT. …15分 1-k1-k S-FNET小sn∠F7_|FM 故S,MFT小sin /MFT【 FM …17分 19.【解析】(1)当a=b=1时，方程f()=e-x-2可化为， nx-x-l=e-1-x-2,即lnx-e-1+l=0,…1分 令g(对=1nx-el+1,g09）=1-e,… …2分 1 易知g(x)在(0，+∞)单调递减，且g'()=0, 所以当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)在(0,1)单调递增： 当x∈(L,+o)时，g(x)<0,g()在(L,+o)单调递减： 因此g(x)在(0，+o)的最大值为g(1)=0,… …4分 g()只有一个零点1，所以方程f(x)=e1-x-2的解为x=1.…5分 (2)f9=。-bx1-b0-),易知f0=0, 因为b∈(0,1)，所以当x∈(0,1)时，f'()>0,f(x在(0,1)单调递增： 所以当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,f(x)在(1，+∞)单调递减： 因此f(x)在(0，+o0)的最大值为f(I)=bna-a-1,…7分 因为a∈(L,+∞)，b∈(0,1)，所以fI)=b1na-a-1<na-a-1,8分 令Ma)=lna-a-1,h@=上-1=1-a,易知①=0， a 所以当a∈(0,1)时，H(a>0,h(a)在(0,1)单调递增； 所以当a∈(1，+o)时，h(a<0,h(a)在A,+o)单调递减： 因此h(a)在(0，+o)的最大值为h(I)=-2, 所以f(x)≤blna-a-1<na-a-1≤-2，即f(x)+2<0.…10分 (3)在f,+2<0中取a=2,b=1 2 0n2e2N.9x六2 1>1 …13分 1 1 1 当n∈N, =√n1-√n,…16分 ln2n2Wn√n+n+l 2025-2026学年度高三（上)数学期末答案第7页（共10页) (迎0T并)连8患苦易半睢索嗾（丁）三豐到由素90Z-9z0Z 1-w--1++少-g1-ge四4+四-9 I'I赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高三数学试卷 2026年2月 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小愿给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的请把正确的选项填涂在答愿卡相应的位置上 已知复数：一2+(1为数单位)，则复数在复平面内对应的直所在象限为 1-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A=N可≤2，集合B=付≥，则4nB= A.（-m,2] B.(Q,) c.,2] D.1,J 3双曲线C:￡上 言1（a>0.b>0)的-条渐近战方程为y=5x,且过点（反，V同，则双曲线C 的方程为 A.22-y2=1 B.=1 c.5x2-4y2=1 3 26 4.己知函数/=os-日-si加(r-令.则 A.高数因的及小正国用为 B.函数f问在区间，5]上单调递地 L88」 C.函数()的最大值为2 。.画数因的国象关于A(管可对搭 5.设函数∫(x)=e+二(0)r,则画线y=f八x)在点(0，f(0》处的切线方程为 A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=x+1 D.y=x-1 6.已知等差数列{a,}的前n项和为S。,且满足42+4，=16，S,=15,则下列说法错误的是 A.数列{a.}的通项公式为a,=2n+1 B.马+a4=16 C.前9项和S,=99 D.数列)是公差为2的等差数列 7。已知平面上的非零向量而，万，定义运算：m⊙万=何1，对于平面上任意非零向量a,石，8， 万元 则 A.a⑧b=b⑧a B.若B与c不垂直，则(a⑧b)⑧=a⑧(6⑧c) C.(a+b)⑧E=a⑧c+b⑧ D.若a⑧=b⑧c,则a=b 2025-2026学年度高三（上）数学期末试卷第1页（共4页） 8.已知a=h3-h2,b=e号，则 A.b>a>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 二、选邦题：本题共3小恩，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，BG=1BD0≤1≤)，则 A.若BD1平面4CG,则2=月 B.若照件面4CG,则入= C.若2=1，则直线4AG与直线CD所成的角为 D.若1=0，则直线AG与平面ABC所成的角的正切值为√互 闭列包的前n项和为S,且满足0，=38-3，对任意的ne,都有4≤2S 立，则 A0,=3x( B.8=1-(← C.A的最大值为子 D.B的最小值为子 11.已知抛物线C:x2=2y的焦点为F(0,2),过点F的直线与抛物线C相交于A,B两点，O(0,0). D(0,-4),点P是以OD为直径的圆上的一个动点，在射线DP上取点2，使得DgD=8,则 A.p=4 B.4F+9lBF≥36 C.抛物线C与圆(x-2)+0-4)2=8有且只有一个交点D.∠A0B存在最大值 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.样本数据84,8,110,42,152,304,178,130,251,130的75%分位数是 ∫2'，0≤x<1, 1B.已知定义在R上的偶函数闭满足/4+切=4-动，且f心)=+g,d≤x≤4，则 f2026 14.如图1，在平面四边形ABCD中，AC=4,BA+BC=DA+DC=8,将△MDC沿AC折叠，使 点D到达点P的位置，得到三棱锥P-ABC(如图2)，若AC⊥PB,PB=4,则当三梭锥P-ABC 体积取最大值时其内切球的半径为 图 ®， 2025-2026学年度高三（上）数学期末试第2页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 尚斑3亿人都在用的扫描ApP -1- 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步源。 15.(本小题13分) 在△ABC中，内角，B,C的对边分别为a,b,c,若c0sB=2C+也 2a (1)求A的大小： (2)若a=2√5，AD为角A的平分线，D点在线段BC上， AD=1,求△MBC的面积 16.(本小题15分) B 如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，其中平面PAB⊥平面 ABCD,∠ABC=5 π AB=2,PA=PB=√2，点M为PD的中点 (I)证明：AB⊥PC: (2)若过点C,M的平面a与BD平行，且交PB于点2，求平面MC2与平面ABCD夹角的余弦值. 17.（本小题15分) 2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统G内置n(n∈N,， ≥4)个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概串为气，各元件工作状态相互独立. (1)当n=4时记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X,回答以下问愿： ①求X的分布列及数学 期望E(X): ②若有超过 的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性， 为改普n=4时 系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即n=5提高系统G的可靠性？请给出 你的结论并 止明 2)该公 次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测 试其工作状态，得到如下2×2列联表： 正常工作故障合计 模拟太空 451055 地面实验室 301545 25100 请根据小概率值α=0.01独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d. P(2≥k)0.050.010.001 3.8416.63510.828 2025-2026学年度高三〔上)数学期末试第3页（共4页） 18.(本小题17分) 已期器面C,手卡-1（口b>0)的离6率为竖，右他点为F,上风点为B,坐标原点为0。 △B0F的面积为2，直线BF与椭圆C的另-个交点为4，%)，直线+2W-2=0与直线y=b 相文于点 (G)若过P的直线I交椭圆C于M,N两点且与直线BF交于点T(异于F),记△FN与△FTM的 面积分别为，S,试比较 与的大水、并税理血 FW」 9.(本小题17分) 己知函数f()=bln(ar)-x2-a. (1)当a=b=1时，求方程f()=e4-x-2的解 (2)若a∈(1，o∞)，b∈(0,1)，证明：f(x)+2<0: eE翔立t4+…th2词>丽-1(neN, 11 1 2025-2026学年度高三（上）数学期末试第4页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 2.