10.3 频率与概率分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3　频率与概率 一、必备知识基础练 1.(探究点一)下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是(　　) A.频率就是概率 B.频率是随机的,与试验次数无关 C.概率是稳定的,与试验次数无关 D.概率是随机的,与试验次数有关 2.(探究点一)某网站举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会,中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是(　　) A.某人抽奖100次,一定能中奖10次 B.某人消费1 000元,至少能中奖1次 C.某人抽奖1次,一定不能中奖 D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖 3.(探究点二)某学校为了解学生课外学习的情况,随机抽取了部分学生,对他们一周的课外学习时间(单位:时)进行调查,统计数据如下表所示: 学习时间/时 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 学生人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名学生,估计其学习时间不少于6小时的概率为(　　) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 4.(探究点二·2025天津河西高一期末)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球,4个白球,若干个黑球,每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,经过大量重复实验后,发现摸到黑球的频率稳定在0.4,则袋中约有黑球(　　) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 5.(探究点二)《九章算术》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送米1 805石(古代容量单位),验得米内夹谷,抽样取米一把,数得155粒内夹谷31粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.361石 B.341石 C.314石 D.360石 6.(探究点四)某学校举行乒乓球比赛,学生甲和学生乙比赛3局(采取三局两胜制),假设每局比赛甲获胜的概率是0.7,乙获胜的概率是0.3,利用计算机模拟试验,计算机产生0~9之间的整数随机数,当出现整数随机数0~6时,表示这一局甲获胜,当出现整数随机数7~9时,表示这一局乙获胜.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,例如,产生20组整数随机数; 603 099 316 679 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 197 347 467 822 288 根据随机数估计甲获胜的概率为(　　) A.0.75 B.0.95 C.0.8 D.0.85 7.(探究点二)为了解某地区九年级男生的身高情况,随机选取了该地区100名九年级男生进行测量,他们的身高x(单位:cm)统计如下表: 组别(cm) x≤160 160<x≤170 170<x≤180 x>180 人数 13 43 36 8 根据上表,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高高于170 cm的概率约是　　　　　.  8.(探究点二)在一个袋中装有大小与质地均相同的红球和黄球共5个,小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回,进行100次后统计发现,红色小球出现了58次,黄色小球出现了42次,则袋中红球最有可能有　　　　　个.  9.(探究点二)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布: 成绩 人数 90分以上 43 80~89分 182 70~79分 260 60~69分 90 50~59分 62 50分以下 8 经济学院一年级的学生小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位). (1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上. 二、关键能力提升练 10.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) A. B. C. D. 11.众所周知,长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则该名学生近视的概率约为(　　) A. B. C. D. 12.若某地8月15日不下雨记为0,下雨记为1,统计从2000年至2024年的气象资料得11000　10011　00001　01011　10100,则该地8月15日下雨的概率约为　　　　.  13.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为　　　　,估计数据落在[2,10)内的概率约为　　　　.  14.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　.  15.某5G手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件,其检测结果: 等级 一等品 二等品 次品 甲车间配件频数 55 33 12 乙车间配件频数 65 27 8 其中一、二等品为正品. (1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率; (2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的2倍.已知每件配件的生产成本为5元,根据环保要求,每件次品需要处理费用为3元,厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元,求二等品每件的出厂的最低价. 三、学科素养创新练 16.已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等). 现要从甲、乙两名同学中,选出一名参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,且只抽取1次,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛. (1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增数”?并一一列举出来. (2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平吗?并说明理由. 参考答案 1.C　频率指的是:在相同条件下重复试验, 事件A出现的次数除以总数,是变化的. 概率指的是:在大量重复进行同一个试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,这个常数就是事件A的概率,是不变的.故选C. 2.D　中奖的概率为10%是说明在一次抽奖时,他中奖的可能性有10%,但也可能抽奖10次,一次也没中奖,D正确.故选D. 3.B　由统计表可知,样本容量为8+13+9+10+10=50(人),学习时间不少于6小时的有10+10=20(人), 所以学习时间不少于6小时的概率约为=0.4.故选B. 4.C　设袋中黑球有x个,利用频率估计概率,可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4,由题意可得≈0.4,解得x≈8,所以袋中约有黑球8个.故选C. 5.A　根据题意,抽样取米一把,数得155粒内夹谷31粒,则样本中夹谷的频率为, 则这批米内夹谷约为1 805×=361(石). 故选A. 6.A　设事件A为“甲获胜”,20组随机数,其中事件A发生了15次, 所以P(A)≈=0.75. 故选A. 7.0.44　因为身高高于170 cm的频率为=0.44,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高高于170 cm的概率约是0.44. 8.3　红球出现的频率为=58%,所以红球出现的概率应接近58%, 设袋中红球的个数为k, 当k=2时,=40%, 当k=3时,=60%, 当k=4时,=80%, 当k=3时,=60%最接近58%, 所以袋中红球最有可能有3个. 9.解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012. 用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下: (1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067. (2)将“60~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140. (3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892. 10.C　由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 11.B　设该校有a名同学,则由题意可得约有0.4a的学生近视,约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h,约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%, 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5=0.15a, 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a-0.15a=0.25a的学生近视, 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,该名学生近视的概率约为P=. 故选B. 12.0.44　根据所统计的25年的资料,共有11次下雨,因此该地8月15日下雨的概率约为=0.44. 13.64　0.4　数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4=64,落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4,由频率估计概率知,所求概率约为0.4. 14.0.03　P==0.03. 15.解(1)由数表可知,甲车间生产出配件的正品的频率为=0.88, 故甲车间生产出配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出配件的正品的频率为=0.92, 故乙车间生产出配件的正品的概率估计值为0.92. (2)设二等品每件的出厂价为a元,则一等品每件的出厂价为2a元. 由题意可知,[120(2a-5)+60(a-5)-20×8]≥21.7, 整理得,a-5.3≥21.7,所以a≥18. 故二等品每件的出厂的最低价为18元. 16.解(1)由题意知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”共有20个,分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456. (2)不公平.由(1)知,所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个,记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件A包含的样本点有124,134,234,126,136,146,156,236,246,256,346,356,456,共13个. 由古典概型计算公式,得P(A)=. 又A与B对立,所以P(B)=1-P(A)=1-, 所以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 8 学科网（北京）股份有限公司 $