精品解析：上海市复旦中学2025-2026学年第一学期高一年级期末数学试卷

复旦中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（1～6每题3分，7～12每题4分） 1. 已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于_________. 2. 方程的两根之积为，则_____________. 3. 函数的定义域是___________. 4. “”是“”的______条件． 5. 扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为______． 6. 已知，则的值域是______； 7. 已知为第四象限角，且，则______． 8. 定义域为R，值域为的一个减函数是___________. 9. 已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 10. 设，则的最小值为_________． 11. 若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 12. 对于一个数集，定义函数．假设数集是全集，是的子集，对任意，有以下命题：①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么；其中命题正确的是______． 二、单项选择题（13、14每题3分，15、16每题4分） 13. 若，则一定有（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 14. 设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 15. 若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 6.4秒 16. 已知点，，在函数上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（ ） A. B. C. D. 三、解答题（） 17. 计算： （1）求的值． （2）若，求的值． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求关于的不等式的解集． 19. 某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 已知函数，（）． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求的取值范围． 21. 对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”． （1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若是位差值为1的位差奇函数，求的值； （3）若对于任意，都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题（1～6每题3分，7～12每题4分） 1. 已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且AB，则a等于_________. 【答案】-2 【解析】 【详解】分析：由为的子集，得到中的所有元素都属于，从而可得，进而可求出的值. 详解：集合，且，，解得，故答案为. 点睛： 本题主要考查子集的基本定义，属于简单题. 2. 方程的两根之积为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由两根之积为可知，再用韦达定理，可得。 【详解】由题，方程有两个根，则方程是二次方程，即，又，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，两根之积，是基础题。 3. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域. 【详解】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是. 故答案为： 4. “”是“”的______条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】判断“”能否推出“”，以及“”能否推出“”. 【详解】若，根据余弦函数的性质，得， 所以“”推不出“”； 若，则一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 5. 扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用弧长公式直接计算可得. 【详解】由弧长公式可知，解得. 故答案为：6 6. 已知，则的值域是______； 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 7. 已知为第四象限角，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角所在象限，结合同角三角函数关系式求解即可. 【详解】因为为第四象限角，所以， 由，所以， 故答案为：. 8. 定义域为R，值域为的一个减函数是___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是，其中. 【详解】因为的定义域为R，是增函数，且值域为， 所以的定义域为R，是减函数，且值域为， 则的定义域为R，是减函数，且值域为， 所以定义域为R，值域为的一个减函数是. 故答案为：（答案不唯一）. 9. 已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用单调性和零点存在性定理判断零点所在区间即可得. 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又， 即，所以存在唯一零点，所以. 故答案为： 10. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 11. 若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式，可得，结合条件，即可得答案. 【详解】因为对任意的，， 当且仅当时取等号， 所以，即或， 解得或，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 12. 对于一个数集，定义函数．假设数集是全集，是的子集，对任意，有以下命题：①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么；其中命题正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据结合定义即可得出结论，②由得出，再根据定义分析即可得出结论，③利用条件结合定义推理即可得出结论，④由，分，结合定义进行讨论即可. 【详解】对于①，由，对任意，至多属于中的一个集合， 若属于集合中的一个，则， 若都不属于集合，则， 所以，故①正确； 对于②，由，得， 若，则，得， 若，此时， 由，当，得，则， 当时，，则， 故当时，， 综上所述，故②正确； 对于③，当时，， 此时，故③错误； 对于④，由， 若，则且， 此时， 若，则或， 则，或， 则，故④正确， 故答案为：①②④． 二、单项选择题（13、14每题3分，15、16每题4分） 13. 若，则一定有（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给条件取特殊值逐项分析即可. 【详解】选项A，取，满足， 此时， 故A选项不正确， 选项B，取，满足， 此时，故B选项不正确， 选项C，取，满足， ，故C选项不正确， 故选：D. 14. 设．下列各项中，能推出的一项是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 15. 若密码的长度设定为512比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 6.4秒 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，然后两边取对数，利用对数运算，结合对数式和指数式的关系求解可得. 【详解】由题意可知，在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为秒， 令，两边取对数得， 所以， 故选：B 16. 已知点，，在函数上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义表示，将代入函数之后，得出和的关系式，然后推导出和的关系式，然后根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】由题意得在函数上， 因此，当时，，即， 当时，，即， 由题意得，由三角函数定义. 代入的表达式，得到当时，， 当时，，则构造方程， 若是函数，则方程最多只有一解， 如图，作出符合题意的图象， 则当时，方程有两个解，故A，C错误， 由对称性可知，对任意的，点在函数上， 所以一个存在两个值与之对应， 分别是，，此时一个有两个值与之对应， 因此不是的函数，故D错误，B正确. 故选：B 三、解答题（） 17. 计算： （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得解； （2）利用商数关系弦化切，代入即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以. 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）判断函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则 ， 因为，且，所以， 所以，且， 所以，因此即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）直接解对数方程即可； （2）利用对数函数性质，结合单调性定义证明可得； （3）分和，利用单调性求解可得. 【小问1详解】 由解得或，即的定义域为. 若，则，所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 且的定义域为， 所以函数为奇函数，故在上单调递增， 因为， 所以当时，不等式； 当时，，所以， 所以恒成立，此时无实数解. 综上，的解集为 19. 某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【解析】 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【小问1详解】 由题意可得， ，所以 【小问2详解】 当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 20. 已知函数，（）． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可； （2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围； （3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解. 【小问1详解】 当时，由得， 即，解得或． 所以不等式的解集为或． 【小问2详解】 由得， 即不等式的解集是． 所以，解得． 所以的取值范围是． 【小问3详解】 当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解， ②当，即时， 对任意，． 所以解得， ③当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解， ④当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论. 21. 对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”． （1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若是位差值为1的位差奇函数，求的值； （3）若对于任意，都不是位差值为的位差奇函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以， 令，定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以对于任意，都有为位差奇函数； 又，则， 令，由的定义域为关于原点对称， 若为奇函数，则， 即，整理得：， 该式子仅在时成立，不满足对定义域内任意恒成立； 故函数不是奇函数，所以不是位差奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据位差奇函数的定义分别判断函数和是否为位差奇函数即可； （2）根据是位差值为1的位差奇函数得出相应的方程，分析解出即可； （3）由题意知对于任意，都不是位差值为的位差奇函数，即不是奇函数，问题转化为求出为奇函数的实数的取值范围的补集即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若是位差值为1的位差奇函数， 则 设，则根据题意得为奇函数， 即， 即 整理得恒成立，从而. 【小问3详解】 由， 则 ， 令， 若函数为奇函数，则对任意的恒成立， 由 ， 因为不恒为0， 所以函数为奇函数的条件为， 由题意知若函数不是奇函数， 则需对任意恒成立， 即方程在无解， 又，所以， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $