精品解析：山东省新泰市第一中学北校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2024级高二上学期阶段性考试 数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，共40分，每个题目有且只有一个答案） 1. 已知空间向量，若，则（　　） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示，列出方程，求解可得. 【详解】由，有，则，解得． 故选：D． 2. 已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点在双曲线上代入解得，确定双曲线的方程即可得到虚轴长为. 【详解】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 3. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项. 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 4. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 5. 圆，圆，则圆与（ ） A. 相离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】由题意有：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，故AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，故D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，故C正确. 故选：C. 6. 已知，两点到直线的距离相等，则（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 7. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得. 【详解】，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 二、多选题（每个小题都有多个答案，全部答对得6分，部分选对得部分分） 9. 已知直线，动直线，则（　　） A. 当时，不经过第一象限 B. 经过定点 C. 对任意的，直线与都不重合 D. 对任意的，直线与都不垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】当时，可确定直线方程，明确其经过的象限，判断A的真假；化简直线方程，可确定直线是否经过定点，判断B的真假；举例说明两直线可以重合，判断C的真假；根据两直线垂直求的值，判断D的真假. 【详解】对于A，当时，的方程为，经过第二、三、四象限，A正确； 对于B，，由得，B正确； 对于C，当时，，与重合，C错误； 对于D，当时，两直线垂直，D错误． 故选：AB 10. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则n的最小值为11 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据等差数列基本量的运算求解即可；对B，求出通项公式判断即可；对C，求解判断即可；对D，令求解即可. 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 所以当时，取到最小值，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的n的最小值为11，故D正确. 故选：BD. 11. 已知递增等比数列的前项和为，若，则（　　） A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 是等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式，进行基本量的计算判断AB；利用等差、等比数列的定义判断CD. 【详解】设递增等比数列的公比为，由，得， 而， 则，解得，， 对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， 则数列是等差数列，公差为，C正确； 对于D，，又， 因此是首项为3，公比为的等比数列，D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分，请把正确答案填到答题卡上） 12. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可. 【详解】取中点M，连接 ，，， 取中点H，，，. 分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， 则，， 故， 又因为两异面直线的夹角范围是， 故异面直线和所成角为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 14. 已知过点的直线交圆于两点，且，则满足条件的所有直线的斜率之和为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由题可得点在圆的内部，且点是线段的四等分点.设中点为，则，且为圆心到直线的距离.设直线的斜率为，则其方程为，即，由点到直线的距离公式可得的方程，从而求得满足条件的所有直线的斜率之和. 【详解】如图，设中点为，因为，所以 则， 又，所以， 从而，两式相减得， 从而，从而， 设直线的方程是，即， 从而，即， ， 所以直线的斜率有两解，由根与系数关系可知斜率之和为12． 故答案为：12. 四、解答题（本题共5个小题，共计77分，解答时要写现必要的过程或步骤） 15. 已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：． （1）求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标； （2）求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【答案】（1），定点； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程，再求出直线所过定点坐标. （2）判断定点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【小问1详解】 依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； 直线，由，解得， 所以直线过定点. 【小问2详解】 由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即. 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 数列中，， 当时，， 两式相减得， 解得， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 17. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以． 【小问2详解】 由，得 所以． 18. 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【小问1详解】 在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以. 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 19. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点， ①证明：为定值； ②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①由题意可得，， 设，可得， 即，则， 因为，， 则； ②是， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，结合圆心率即可求解； （2）①求出点和的坐标，设，代入椭圆的方程，求出，根据，即可求解；②设直线，，，联立直线和椭圆的方程写出韦达定理，根据求出和的关系式，根据求出，求出点到直线l的距离，求出的面积. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且， 所以，， 椭圆的方程是； 【小问2详解】 ①略 ②易知直线l的斜率存在，设直线，，， 联立直线和，可得， 可得，， ， 由， 可得，由弦长公式可得 ， 点到直线l的距离为， 所以， 综上可知，的面积为定值 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于根据，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期阶段性考试 数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，共40分，每个题目有且只有一个答案） 1. 已知空间向量，若，则（　　） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 2. 已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A. 4 B. 2 C. D. 2 3. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 4 5. 圆，圆，则圆与（ ） A. 相离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 6. 已知，两点到直线的距离相等，则（ ） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 或2 7. 已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每个小题都有多个答案，全部答对得6分，部分选对得部分分） 9. 已知直线，动直线，则（　　） A. 当时，不经过第一象限 B. 经过定点 C. 对任意的，直线与都不重合 D. 对任意的，直线与都不垂直 10. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则n的最小值为11 11. 已知递增等比数列的前项和为，若，则（　　） A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 是等比数列 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分，请把正确答案填到答题卡上） 12. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________. 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 14. 已知过点的直线交圆于两点，且，则满足条件的所有直线的斜率之和为___________． 四、解答题（本题共5个小题，共计77分，解答时要写现必要的过程或步骤） 15. 已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：． （1）求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标； （2）求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 17. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 19. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点， ①证明：为定值； ②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $