1.2 整式的乘法同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.2 整式的乘法 北师大版数学七年级下册同步练习 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　　 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 一、单选题 1.若，则m的值是（    ） A．6 B． C．8 D． 2.通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3. ． 4.已知，则代数式 ． 5.在计算结果中，不含项，则a值为 ． 6.小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ，正确的结果是 ． 7.若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 8.若，则的值为 ． 9.若规定符号的意义：． (1)计算：_________． (2)若，，则的值为________． 三、计算题 10.计算： (1)； (2)； (3)． 11．计算： (1)； (2)． 12.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 四、解答题 13.已知为正整数，且，求的值． 14.先化简，再求值：，其中． 15.化简，其中 16.（1）已知，求的值． （2）已知，求n的值． 17.已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)在（）的条件下，求的值． 18.小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则如果反过来写，式子可以表达为：；；，可以起到简化计算的作用． (1)在括号里填空：；； (2)已知：，． ①求的值．    ②求的值． (3)已知，求的值． 19.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，，且．求的值； (3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系． 20.如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 21.如图，一个长方形运动场被分隔成，，，，，共个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．    (1)列式表示每个区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含、的代数式表示） (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 答案解析 一、单选题 1.【答案】A 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，再比较各项的系数即可得到答案；熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵， 则m的值为6． 故选：A． 2.【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式运算等知识点，先根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键． 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为， 图2中的阴影部分的面积为， ∴． 故选：D． 二、填空题 3.【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4.【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，求代数式的值．先计算乘法，再合并，然后把代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 5.【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式运算法则“将前面一个多项式中的每一项，分别乘以后面一个多项式的每一项”将整式化简，再根据结果不含，得出含的系数为0，即可解答． 【详解】解： ∵计算结果不含项， ∴， 解得：． 故答案为： ． 6.【答案】 【分析】由题意可得，从而可求解得，再利用单项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： ； 则正确的结果是：， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 7.【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值．熟练掌握多项式乘以多项式，代数式求值是解题的关键． 由题意可得，，由，可得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：9． 8.【答案】或 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则以及已知式子的值，求代数式的值，先把展开，合并同类项，得，结合完全平方公式，列式化简求值，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 即， 那么， 即， ∴的值为， 故答案为：． 9.【答案】(1)5 (2)8或15 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）由题意求得或，根据新定义化简所求式子后整体代入即可得解． 【详解】（1）根据题中的新定义得， ； （2）∵，， ∴， 得， ∴或， 当时，， 当时． ∴的值为8或15． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 三、计算题 10.【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用多项式乘多项式，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 11.【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和多项式乘多项式法则． （1）根据单项式乘单项式法则，让单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12.【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先计算同底数幂乘法然后再合并同类项； （2）先用幂的乘方和同底数幂乘法进行运算，然后再合并同类项； （3）先用幂的乘方进行运算，然后再合并同类项； （4）先用幂的乘方进行运算，然后再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则，准确计算． 四、解答题 13.【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解决本题的关键是转化为同底数幂的乘法． 14.【答案】， 【分析】先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到化简的结果，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，掌握整式的乘法运算的运算法则是解本题的关键． 15.【答案】 【分析】本题主要考查整式乘法，注意按照多项式乘多项式运算法则，不要漏乘，最后合并同类项，结果为最简． 【详解】解：原式 当时，原式． 16.【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据幂的乘方的逆运算得到，再根据同底数幂乘法计算法则求解即； （2）先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，进一步推出，由此得到，则，即． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 17.【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ， ∵展开的结果中，不含和项， ∴，， ∴，； （2）解： ， ， 把，代入得， 原式， ， ． 18.【答案】(1)，， (2)①；② (3)的值为： 【分析】（1）根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解； （2）①根据同底数幂的乘的逆运算即可求解；②根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解； （3）根据乘方的运算，将等式左边化成底数相同的数，再根据同底数幂的乘法运算法则列式解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵同底数幂的乘法是底数不变，指数相加，即， ∴； ∵同底数幂的除法是底数不变，指数相减，即， ∴； ∵幂的乘方是底数不变，指数相乘，即， ∴； 故答案为：，，． （2）解：， ①∵， ∴原式， ∴的值为：； ②∵， ∴原式， ∴的值为：． （3）解：变形得，， ∴， ∴，解得，， ∴的值为：． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的逆运算，掌握同底数幂的乘除法运算法则，及逆运算的计算方法，解方程的方法是解题的关键． 19.【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何面积与多项式的关系、整式的混合运算，熟练掌握运算法则，采用数形结合的方法是解此题的关键． （1）正方形的面积为，各小块面积总和为：，再由面积相等，即可得出答案； （2）由题意可得，由（1）可得：，结合可得，进行计算即可得出答案； （3）由图可得：，，，从而得出，根据，表示出，最后由的值与无关，可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：正方形的面积为， 各小块面积总和为：， 面积相等， ， 故答案为：； （2）解：，，， ， 由（1）可得：， ， ， ， ； （3）解：由图可得：，，， ， ， ， ， 的值与无关， ， ． 20.【答案】(1)计划种植草坪的面积为 (2)种植草坪应投入的资金是243000元 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． （1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：， ， 栽花面积：， 草坪面积：． （2），，草坪价格为30元/， 应投入的资金元． 21.【答案】(1)右上方区长方形场地的周长为：，左下角区长方形场地的周长为： (2)整个长方形运动场的周长为： (3)整个长方形运动场的面积为 【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键． （1）区是边长为的正方形，区是边长为的正方形，图形结合即可求解； （2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解； （3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入，计算即可． 【详解】（1）解：区是边长为的正方形，区是边长为的正方形， ∴区长方形场地的长为：，宽为：， ∴右上方区长方形场地的周长为：， 左下角区长方形场地的周长为：． （2）解：由（1）可知，区长方形场地的长为：，宽为， ∴整个长方形运动场的长为：，宽为：， ∴整个长方形运动场的周长为：． （3）解：整个长方形运动场的长为：，宽为：， ∴整个长方形运动场的面积为：， 当，时，原式， ∴整个长方形运动场的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $