精品解析：福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

厦门外国语学校石狮分校2025年秋季高二年段第二次月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A. 6 B. 13 C. 7 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 2. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 3. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到. 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 4. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个0不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个0不相邻的概率为， 故选：C. 5. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 所以，令，所以， 点到平面的距离为． 故选：D 6. 已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 7. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是. 故选：B. 【点睛】解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出，再利用离心率的取值范围可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由共面定理可得B正确；由基底的性质可得C正确；由向量共面的性质可得D正确； 【详解】对A，当时，夹角为平角，故A错误； 对B，由空间向量的基本定理知，因，所以四点共面，故B正确； 对C，因向量组是空间的一个基底，所以三向量不共面，且不为， 假设共面，则，即，矛盾， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对D，由向量共面的性质可得空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故D正确； 故选：BCD. 10. 设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若倾斜角为，且，则 C. D. 若点，则的最小值是5 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及焦半径公式即可判断A，求得两点的纵坐标来判断B，根据特殊点进行判断C,利用点到抛物线的准线的距离来判断D. 【详解】抛物线的准线为，焦点为. 设， 设直线的方程为， 由,化简得， 所以， ， 所以（时等号成立）.所以A正确. 当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限. 故，解得， 所以，即，所以B正确. 当直线的方程为时，不妨设，此时，所以C错误. 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】在正方体中，证得平面平面，得到平面，求得点的轨迹长度，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定B、C正确；求得点关于平面的对称点为，结合，可判定D错误. 【详解】对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，因为，且平面 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确； 对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示， 可得，设，且， 则， 由， 解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确； 对于C，由，可得， 即，因为， 当时，可得；当时，可得； 所以点的轨迹为线段，且， 则，所以C正确； 对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为， 当点三点共线时，最短， 所以， 所以不存在点使得，所以D不正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，则直线恒过定点__________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，即可根据求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故定点为， 故答案为： 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案． 【详解】向量，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为：. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解. 【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量， 同理可知，与分别为平面与的法向量. 设直线的方向向量，则，即，取，则. 设直线与平面所成角为，则. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C的标准方程； （2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程. 【小问1详解】 由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上， 设圆心，半径为； 即可得，解得，半径， 所以圆C的标准方程为 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线方程为，显然不合题意； 当直线l的斜率存在时，设方程为； 易知圆心到直线的距离 又可解得或， 即直线l的方程为或. 16. 已知等差数列前项的和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求出，再得出通项公式即可； （2）应用分组求和结合等差数列前n项和公式及等差数列前n项和公式计算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得 所以 . 17. 某中学演讲社团共有名同学，其中来自高一年级的有一女两男，来自高二年级的有两女一男. （1）若从这名同学中随机选出两人参加演讲比赛， （i）求高二年级的男生被选中的概率； （ii）求其中至少有一名男生的概率； （2）若从每个年级的名同学中各任选名，求选出的名同学性别相同的概率. 【答案】（1）（i）；（ii）；（2）. 【解析】 【分析】（1）高一年级的一女两男分别记为，，；高二年级的两女一男分别记为，，，列出从这名同学中随机选出两人的情况， （i）找出高二年级的男生被选中的情况由古典概型概率计算公式可得答案； （ii）计算出“至少有一名男生”是“全是女生”的对立事件的概率可得答案； （2）列出从每个年级的名同学中各任选名的情况和性别相同的情况，由古典概型概率计算公式可得答案. 【详解】高一年级的一女两男分别记为，，；高二年级的两女一男分别记为，，. （1）从这名同学中随机选出两人有，，，，，，，，，，，，，，共个样本点. （i）高二年级的男生被选中有，，，，共个样本点，所以高二年级的男生被选中的概率为. （ii）“至少有一名男生”是“全是女生”的对立事件，“全是女生”有，，共个样本点，所以“至少有一名男生”的概率为. （2）从每个年级的名同学中各任选名有，，，，，，，，共个样本点，性别相同共有，，，共个样本点，所以概率为. 18. 如图，在三棱柱−中，平面，，，，分别为，，，的中点，，． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：直线与平面相交． 【答案】（1）在三棱柱中， 平面，四边形为矩形． 又，分别为，的中点，． ，为的中点，，而， 平面． （2）； （3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法 平面的一个法向量为，，， ，，与不垂直， 与平面不平行且不在平面内，与平面相交． ［方法二］：几何转化 如图4，取的中点，分别在，点，，使． 连接． 由棱柱性质得，， 平面，平面. 又，平面， 平面平面. 又平面，平面，故直线与平面相交． ［方法三］：根据相交的平面定义 如图5，设与交于，联结． 因为，所以四点共面． 因为，所以． 又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交． 因为平面，所以直线与平面相交． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果； （3）根据平面一个法向量与直线方向向量数量积不为零，可得结论. 【详解】（1）略 （2）［方法一］：【通性通法】向量法 由（1）知，，．又 平面，平面． 平面，． 如图建立空间直角坐称系． 由题意得 ，，， ， ． ， 设平面的法向量为， ，， 令，则，， 平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，． 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为． ［方法二］： 【最优解】转化＋面积射影法 考虑到二面角与二面角互补，设二面角为， 易知，，所以． 故． ［方法三］：转化＋三垂线法 二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面． 如图3，作，垂足为，联结． 平面，平面，. 又，， 平面，得. 则是二面角的平面角， 设，在中，， 因为二面角 ， 所以二面角的余弦值为． （3）略 【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法； 方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解； 方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出； （3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解； 方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出； 方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）①设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校石狮分校2025年秋季高二年段第二次月考数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A. 6 B. 13 C. 7 D. 42 2. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 4. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 5. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 10. 设是抛物线的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若倾斜角为，且，则 C. D. 若点，则的最小值是5 11. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 存在唯一的点P满足 C. 满足的点P的轨迹长度为 D. 存在点P满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，则直线恒过定点__________． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__________. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称. （1）求圆C的标准方程； （2）已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 16. 已知等差数列前项的和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 某中学演讲社团共有名同学，其中来自高一年级的有一女两男，来自高二年级的有两女一男. （1）若从这名同学中随机选出两人参加演讲比赛， （i）求高二年级的男生被选中的概率； （ii）求其中至少有一名男生的概率； （2）若从每个年级的名同学中各任选名，求选出的名同学性别相同的概率. 18. 如图，在三棱柱−中，平面，，，，分别为，，，的中点，，． （1）求证：⊥平面； （2）求二面角的余弦值； （3）证明：直线与平面相交． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $