第28章 锐角三角函数综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）陕西专版

第二十八章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 宴 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 敏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1.tan60的值为 A.3 B鸟 c 1 D. 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则cosA的值是 A. 4 3 C. 4 B.3 D.5 R 北 北 459 77177177771171777717171117 A (第2题图) (第4题图) (第5题图) (第7题图)》 (第8题图) 3在R1△ABC中，∠C=90°，sinA=号，BC=6,则AB的长为 ( ;! A.4 B.6 C.8 D.10 东4.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为 A. 2 R号 C.1 D 5.如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度i=1:3的斜坡向上移动了10m,此时滑块上升的高 度为 A.√/10m 10 B.号m C.3√/10m D.10m 6,在△ABC巾，锐角∠A,∠B满足|simA-+(csB) =0,则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15km到达B处，此 时从观测站O处测得该船位于北偏东45方向上，则观测站O与港口A之间的距离为 ( A.15/2 km B.15√2km C.7.5 km D.15 km 2 8.第14届国际数学教育大会(ICME一14)会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”. 如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成的大正方形 ABCD.若EF:AH=1:3,则sin∠ABE的值为 ( R号 c D.26 5 第1页（共6页） 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.在Rt△ABC中，∠C=90°.如果tanB=2,BC=2,那么AC的长为 10.若a是锐角，且sina=cos77°，则a的度数是 11.某商场在一楼与二楼之间安装了一部长25的手扶电梯，手扶电梯的倾斜角为α，则一楼与二 楼之间的高度为 m. 12.如图，在平面直角坐标系巾，点P在射线0A上，0P-13,c0sa=,则点P的坐标为 图① 图② (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AD是⊙0的直径，且A0号，AC=2,则simB的值是 14.图①为《天工开物》记载的用于春(chong)捣谷物的工具-一“碓(du)”,图②为其平面示意图. 已知AB⊥CD于点B,AB与水平线L相交于点O,OE⊥l,CF⊥U.若BC=4dm,OF= 85d血sin∠BOE=25,则CF的长为 dm. 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.(本题满分5分)计算：2sin30°+cos60°+cos245°. 16.(本题满分5分)如图，在△ABC中，∠ACB=90,sinA=号，BC=8,D是AB的中点，求线段 CD的长. 第2页（共6页） 17.(本题满分5分)图①是外翻窗的示意图，图②是外翻窗的侧面图.当外翻窗从下面打开时，窗的 一边沿AB绕点A旋转到AB.已知AB=1.2m,旋转角∠BAB最大为15°.当∠BAB最大时，求 点B到AB的距离.（结果精确到0.01m,参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） B' 图① 图② 18.(本题满分5分)如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=4,BC=5.请用尺规作图法，求作∠ABD, 使得tan∠ABD=子，且点D在边AC上.（保留作图痕连，不写作法） 19.(本题满分5分)由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中， ∠A=30°，tanB= ,AC=4√3，求AB的长.”这时小明去翻看了标准答案，显示 AB=10.请你帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么. 20.（本题满分5分)物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固与桌 面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关.角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险.角度过 大，镜框易倾倒.经过多次实验，发现在图①中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在60°至75°之间 较为稳固.图中镜框AB长5dm,靠在竖直的墙AO上.AO=3dm时镜框是否较为稳固？请说明 理由， 图① 图② 第3页（共6页） 21.(本题满分6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD,交CD的延 长线于点E.已知AC=9,cosA=号，求线段CD的长及os∠DBE的值. 22.（本题满分7分)小明家的脚踏式垃圾桶示意图如图所示，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角 ∠ABC=50°.为节省家里空间，小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高55cm,垃 圾桶高BD=33.1cm,桶盖直径BC=28.2cm,当垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开是 否会碰到桌子下沿？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) E飞----D 23.(本题满分7分)【学科融合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如 图①)，我们把1=册称为折射率（英中a代表入特角日代表折射商） 【观察实验】为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验，即通过细管MN可以看见水 底的物块C,但不在细管MN所在直线上，图③是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A, C,B在同一直线上，测得BF=12cm,DF=16cm. (1)求入射角a的度数； 第4页（共6页） (2)若BC-=7cm,求光线从空气射人水巾的折射率m(参考教据：sm53≈吉0s53≈ tan53≈) 入射角a一法线 介质 折射角B 图① 图② 图③ 24.(本题满分8分)如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD,AE⊥BC,垂足为E,AE=9, sn∠CBD-是 (1)求BD的长； (2)若BD=CD,求tan∠BAE的值. B E 25.(本题满分8分)太平寺塔，又名岐山塔，因塔建于太平寺内而得名，为陕西关中地区遗存的标 准宋塔之一，更有“古塔凌空”为“岐山八景”之一. 第5页（共6页） 活动名称 测量太平寺塔的高度 G 如图，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上 20T 图示及测 升7s后，飞行至，点B,在点B处测得塔尖D的俯角为20°， 量方案 然后沿水平方向向左飞行7s至点G A 测量说明 点A,B,G,D,E均在同一竖直平面内，且点A,E在同一水平线上，DE⊥AE,DG⊥AG 任务一 求从点G处看塔尖D的俯角的度数 任务二 求太平寺塔DE的高度（结果精确到1m.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20≈0.36） 26.(本题满分12分)【阅读材料】 (1)如图①，在锐角三角形ABC中，∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,作AD⊥BC于点 D,在Rt△ABD中，inB=ADAD=c·sinB.在R△ACD中，sinC=4D..AD=b: b SnC,即c·sinB=b·sinC.sbB、C请根据上述方法，求证：inBAc sin B 【问题解决】 (2)如图②，甲船以36nile/h的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南 偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东30°方向匀速直线航行.当甲船航行20in到达 D处时，乙船航行到达甲船的南偏西45°方向的C处，此时两船之间的距离为6√2nile,若 此时AC与CD恰好互相垂直，求乙船由B处到达C处航行的路程.（结果保留根号） 东 45 D a 75 图① 图② 第6页（共6页）=mx+,得n=10, 5 4m+n=20, 解得m=云·线段AB的函数解析式为y=号十10.当y=12时，12=号<十10，解得=导·把y= (n=10. 12代人)=2，得12=20，解得=20,20-告-9答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有曾h,24解：1)在)广一2+ 1中，当)广-2时，-2-2+1，解得=是B(受-2)把B(号一2)代入y兰得-2=冬解得=-3(2)将 2 A(-1,m)代入y=-2x+1,得m=-2X(-1)+1=3..A(-1,3)..AE=3,OE=1.设一次函数y=一2x+1的图象与y轴相 交于点F,易得FO,1).DF=3.AE=DF.:AELx辅，DFLx辅AE/DF.四边形AEDF为平行四边形.：B(受，-2） BD=号∴Ssaw=Sae十Sme=合DF,BD+OE.DF=号X3X号+1X3=头 4 25.解：任务一：根据题意，得ABL BP.CDLBF,BE=2m,DE=0,5m,BD=iE-DE=1.5m△FCD△PAR小需-0且Fn=FD+BD=FPD+1,d FD十1,51.5FD=3m,检验，当FD=3时，原方程的分母不为零，FD=3m.∴EF-FD-DE=3-0.5=2.5(m.答：车 FD 1 头盲区EF的长度为2.5m.任务二：过点M作MN⊥FB交AF于点N..FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7(m).易得△FMN∽ △FDC光器MN=MeD--70,57m.a.57>0.5,驾驶员不能观察到物休.26.解，12≤AB<6 FD 3 (2)如图②.点P即为所求.(3)如图③，以B为圆心，PB为半径画弧交AB于点E,交BC于点F,取BF的中点Q,连接PQ,QD,过 点D作DT⊥BC交BC的延长线于T,.BP=BE=BF=20km.∴.BQ=l0km.:四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=40km,AB ∥CD.∠DCT=∠ABC=60,∠CDT=30..CT=2CD=20km,DT=203km.:BQ=10km,BC=40km,CQ=30km. ∴.QT=50km.∴.DQ=√DT+QT=√/(20√3)2+502=10√37(km).:PB=20km,BQ=10km,BC=40km,.BP2=BQ· BC86-s又∠PBQ=∠CBP,:△PiQ△CB即.：器-器-PQ-号PCDp+号PC=Dp+QDP+Q ≥DQ,DP+号PC≥10√m.观测站信号最快10V丽s可以传送到指挥中心. 图② 图③ 第二十八章综合评价 1.A2D3.D4.C5.A6.D7.A8.C9.410.13°1.25sina12.(5,12)13.号14.2515.解：原式=2×2 十号+（号）=216解：在△ABC中，∠ACB=60,BC=8,nA=青AB=%=10D是AB的中点CD=号AB =5.17.解：过点B作B'C⊥AB于点C.:在Rt△CAB中，∠ACB=90°，∠CAB=15°，AB=AB=1.2m,.CB'=AB· si15≈1.2×0.26≈0.31(m).答：当∠BAB'最大时，点B到AB的距离约为0.31m.18.解：如图，∠ABD即为所求. 19.解：过点C作CH⊥AB于点H.在R△ACH中，∠A=30,AC=45,∴CH=之AC=2,厅，AH=AC, 0A=6,AB=10,BH=AB-AH=4n月=写器厚.污渍部分的肉容是20，解：A0=3加时能框不位圆理由 如下：在K△A0B中，m∠AB0-器=子”如60-9，是<怎∠AB0<60,40=8dm时镜框不稳图。21.解：在 2’5 R△ABC冲，∠ACB=S0,AC=9AB=S=15.D是边AB的中点，CD=BD=号AB=号∠BCD=∠ABC ∴m∠CD=sm∠ABC-器=号.BC=AB-AC=12,BELCD,.BE=BC·m∠BCD=9.ms∠DBE=器 第18页（共30页） 票.22.解：过点C作CHLDE于点，交AB于点E.∴∠CFB=90,HF=BD=38.1m,:在R1△FBC中，∠CBF=50,BC =28.2cm,.CF=BC·sin∠CBF=28.2×sin50°≈21.7(cm)..CH=CF+HF=21.7+33.1=54.8(cm)..54.8<55,.桶盖 完全打开不会碰到桌子下沿.23.解：(1)过点D作DG⊥AB,垂足为G,延长GD于点H.由题意，得四边形DGBF是矩形，∴.DG =BF=12cm,BG=DF=16m在R△DGB中，an∠BDG=瓷-9-专∠BDG-53∠PDH=∠BDG-53.人射 角a的度数为53°.(2)，BG=l6cm,BC=7cm,.CG=BG-BC=9cm.在Rt△CDG中，DG=12cm,∴.DC=√CG+DG= 15 em.sin sin∠GDC-品亭，由(I)得∠PDH=53”,sin∠PDH=na≈专∴光线从空气射入水中的折射率m-细g sin 8 =告24.解：1过点D作DP1度于点R.AELC,DP/AB△CDFD△CAE,-器CD=2AD是=号 :AE=9.P5=号：DF=6,在RABDF中m∠CBD-B邵-是，即品兰BD=&(2)由I)知DF=6,BD=8,∠DFB =90BF=BD-DF=2万.：BD=CD,DFLBC.CF=BF=2.:DF/AE,∴票=器=2.EF=CF=7 BE=BF-EF=反.n∠BAE--怎。25.解：任务-：由题意，得AB=BG=7X10=70(m.在R△ABG中， am∠AGB2-1,∠AGB=45.:DG1AG,∠AGD=S0∠DGF=180-∠AGB-∠AGD=45答：从点G处看塔尖 D的俯角的度数为45°.任务二：延长ED交BG的延长线于点F.由题意，得EF⊥BG,EF=AB=7×10=70(m).设FG=xm,则 BF=BG+FG=(x+70)m.:在Rt△DFG中，∠FGD=45°，∴.DF=FG·tan45°=xm.:在Rt△DBF中，∠DBF=20°，.DF= BF·tan20°≈0.36(x+70)m.∴.x=0.36(x十70)，解得x≈39.∴.DF=FG=39m..DE=EF-DF=70-39=31(m).答：太平寺 塔DE的高度约为31m.26.1)证明：过点C作CE⊥AB于点E.在R△ACE中，sin∠CAE=CE,:.CE=b·sin∠CAE.同理， b 在R△BCE中，sinB-ECE=a·smB.b·sin∠CAE=a·sinB.n2BmCB2)解：ACLCD.∠ACD 90°.：∠ADC=45°，.∠CAD=90°-∠ADC=45°..AC=CD=6√2 n mile..∴.∠ABC=75°-30°=45°，∠BAC=180°-75°-45 n2n2C即点是-S议=65nm,答，乙超由B处到达C处航行的路程为6n上 =60°.由(1)知、AC BC 第二十九章综合评价 1.D2.A3.A4.A5.B6.A7.C8.C9.灯光10.球（答案不唯一）11.1412.圆锥13.3+4√314.175π 15.解：如图所示.--一 左视图 俯视图 16.解：如图，BC即为所求 17.解：如图所示.主视图 左视图改正后的三视图所表示的几何体的名称为六棱柱 俯视图 18.解：如图所示. 主视图 左视图 19.解：(1)102√5(2)这个几何体的侧面积为(4+4+4)×10=120(cm).20.解：：A(0,1),B(6,1),.AB∥x轴，AB=6,OA =1.∠PAB=∠PCD,∠PBA=∠PDC.∴△PAB△PCD.:PMLx辅，AB∥x铺PNLAB..∴0易得PM=3, MN=OA=1,PN=PM-MN=2.六CD号.CD=9.21,解：过点B作BH⊥CC于点H.在R△BHC中，∠BCH=45, 62 第19页（共30页）