精品解析：天津市梧桐中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测数学试题

高二上：数学阶段检测 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ A. B. C. D. 7. 已知数列中，，．若数列为等差数列，则 A. B. C. D. 8. 已知数列中满足，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. D. 9. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________． 11. 若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是______． 12. 在等比数列中，是方程的根，则__________． 13. 等差数列的前项和分别为和，若，则_____. 14. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 15. 把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 三、解答题：本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3an，Tn为数列{bn}的前n项和，求数列的前n项和． 17. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 18. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）当等于多少时，最大？最大值是多少？ （3）求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上：数学阶段检测 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D. 考点：等比数列 2. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【详解】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以． 故选：B． 3. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点. 综上可得，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题. 4. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再根据可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得q＝2，所以. 故选：A. 5. 已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点，则①． 又， ②． 由①②得， 即， ， 故选B． 【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 6. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则＝ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可． 【详解】抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x， 准线方程与双曲线y2﹣x2＝1联立可得：y2﹣（）2＝1， 解得y＝±， 因为△ABF为等边三角形，所以 2|y|，即p2＝3y2， 即p2＝3（1），解得p＝2． 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力． 7. 已知数列中，，．若数列为等差数列，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：，因为数列为等差数列， 所以，所以，所以，故选C． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础 8. 已知数列中满足，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由累加法可得，根据的单调性，即可确定的最小值. 【详解】由，， ∴ ， 所以， 所以， 又因为对勾函数在递减，在递增， 且，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用函数的单调性求数列的最值，考查学生的分析问题和解决问题能力. 9. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得 所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 11. 若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】证得圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，进而结合抛物线的定义即可求出结果. 【详解】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切， 则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等， 由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线， 其方程为． 故答案为：. 12. 在等比数列中，是方程的根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理和下标和性质求解可得. 【详解】因为是方程的根， 所以，因为等比数列中同号， 因为，所以 故， 故答案为：. 13. 等差数列的前项和分别为和，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，将题目所求的式子中的有关的式子，转化为有关的式子来求解. 【详解】原式. 【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前项和公式，考查了通项公式和前项和公式的转化.对于等比数列来说，若，则有，而前项和公式，可以进行通项和前项和的相互转化.属于基础题. 14. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 15. 把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 【答案】1992 【解析】 【分析】 先由题意得到从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，得到前个括号内的数字个数，再由所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为；即可求解. 【详解】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第个括号内共4个数； 故前个括号内共有数字个数为； 又因为所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为； 因此第个括号内的数字分别为， 所以. 故答案为：1992. 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于中档题. 三、解答题：本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3an，Tn为数列{bn}的前n项和，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，可得数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式. （2）由(1)bn＝n，则Tn＝，＝2，由裂项相消法即可求出数列的前n项和. 【小问1详解】 ∵2Sn＝3an－3，①当n＝1时，2a1＝3a1－3，即a1＝3.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3.② 由①－②得2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1.∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．∴an＝3×3n－1＝3n. 【小问2详解】 由(1)知bn＝log33n＝n，Tn＝，∴＝＝2， ∴数列的前n项和为Rn＝2＝2＝. 17. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】（1），； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. 【小问2详解】 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 18. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）当等于多少时，最大？最大值是多少？ （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）当时，最大，最大值是 （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，据题意求出，由可得的通项公式； （2）求出的前项和公式，根据二次函数的最大值求法求得的最大值； （3）分析的项的特征，分段写出数列的通项公式，结合等差数列的前项求法，即可分段写出其前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得. 所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，. 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以当时，最大，最大值是. 【小问3详解】 令，得，所以 . 因为，所以. 所以当时，； 当时，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $