第2章 二次函数综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.D4.C5.D6.D7.C8.C9.410.13° 1.专12.142913.(6,12)14.2515解：原式=2× 专+号+（停）=2.16.解：在R△AC中，BC=12,nB =是AC=BC·mB=5.AB=VAC+BC=13. asA-治-=是17解：在△BDC中，∠C=90, ∠BDC=45°，BD=10W2,∴.BC=BD·sin∠BDC=10.:'在 R△AC巾，∠C=90AB=20,smA=%=子18.解： 在Rt△ADE中，∠ADC=90°，a=25°，∴.DE=AE·sina≈30 ×0.42=12.6(cm).:CE=2.4cm,∴.CD=CE+DE=2.4+ 12.6=15(cm).答：在此次实验中，小物件的铅垂高度CD约为 15cm.19.解：如图，∠ABD即为所求. 20.解：由题意，得∠A=∠ACE=37°，∠ADB=53°.∠CBD =∠A+∠ADB=90°..∠ABD=180°-∠CBD=90.在 R△BCD中，CD=100m,∠BDC=90°-∠ADB=37°，.BD =CD·cos∠BDC≈100X0.80=80(m).:在Rt△ABD中， ∠A=37,AB=D六2≈107m.答A,B两点同的距 离约为107m.21.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9, asA=号AB=C=15.:D是边AB的中点，CD= BD=合AB=9.:∠BCD=∠ABC÷Sim∠BCD= sm∠AC-器=号：BC=Vm-aC=1B,BE1cD. BE=iC·sm∠BCD=:o∠DnE=器=芸 22.解：过点F作FH⊥DE于点H.∠CDF=30°，DF= 24cm,∠DCF=45°，.DH=DF·cos∠CDE=12√5cm,FH FH =DF·sin∠CDF=12cm.CH=tan ZDCF=12cm.CD =CH+DH=(12+12√3)cm.CE:CD=1:2,.DE= CD-(18+18/3)cm.AB-BC-DE.:AC=2DE-36+ 36√3≈98(cm).答：AC的长度约为98cm.23.解：(1)过点D 作DG⊥AB,垂足为G.由题意，得四边形DGBF是矩形，∴.DG =BF=12cm,BG=DF=l6cm.在Rt△DGB中，tan∠BDG= 瓷9=专∴∠BDG8.∠PDH=∠BDG5,人 射角a的度数约为53°.(2)：BG=16cm,BC=7cm,.CG= BG-BC=9cm.在Rt△CDG中，DG=12cm,∴.DC= 第13页( VCG+DG=15cmsn=sn∠GDC-%-号.由(1)得 ∠PDH=53,sin∠PDH=sina≈告.光线从空气射入水 中的折射率n品g会、24.解：1)过点D作DF⊥BC于 点R.:AELC,.DF∥AE.△CDF△CAE,g= 器CD=2aD,0-号AE=.5=号DF= 6在R△BDF中，n∠CBD=孺=是，脚高=是BD= 8.(2)由(1)知DF=6,BD=8,∠DFB=90°，.BF= √BD-DF=2√7.，BD=CD,DF⊥BC,.CF=BF=2√7 :DF∥AE,CD=2AD,∴CF=2EF.∴EF=2CF=万.∴BE =F-EF=Rm∠BAE=能- .25.解：任务一：由 题意，得AB=BG=7X10=70(m).在Rt△ABG中，tan∠AGB =能=1.∠AGB=6,DGLAG,.∠AGD=90, .∠DGF=180°-∠AGB-∠AGD=45°.答：从点G处看塔尖 D的俯角的度数为45°.任务二：延长ED交BG的延长线于点 F.由题意，得EF⊥BG,EF=AB=7X10=70(m).设FG= xm,则BF=BG+FG=(x十70)m.:在Rt△DFG中，∠FGD =45°，.DF=FG·tan45°=xm.在Rt△DBF中，∠DBF= 20°，.DF=BF·tan20°≈0.36(x+70)m.,.x=0.36(x十 70),解得x≈39.∴.DF=FG=39m..DE=EF-DF=70-39 =31(m).答：太平寺塔DE的高度约为31m.26.(1)证明：过 点C作CE⊥AB于点E.在Rt△ACE中，sin∠CAE=CE, ∴CE=b·sim∠CAE.同理，在Rt△BCE中，sinB=CE,.CE =a·sinB.b·sin∠CAE=a·sinB.sin∠BAC=sinB (2)解：AC⊥CD,∴.∠ACD=90°.∠ADC=45°，∴.∠CAD =90°-∠ADC=45°，∴.AC=CD=6√2 n mile...∠ABC=75 30=45°，∠BAC=180°-75°-45°=60°，由(1)知、nA -C即品得-0C=65nml答，乙 BC 由B处到达C处航行的路程为6W3 n mile. 第二章综合评价 1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.B8.B9.1(答案不 唯一，a>0即可)10.y=(x-4)2-211.-312.(2,-4) 13.214.1<1<号15.解：“y=-2x+4红-1=-2(x 1)2+1,.该函数图象的开口向下，对称轴为直线x=1, 16.证明：由题意，得△=m2一4(m一2)=(m-2)2十4..(m 2)2≥0，∴.(m-2)十4>0，即△>0..无论m取何实数，抛物 线与x轴总有两个交点.17.解：由题意，得a=2,.抛物线的 共24页) 函数表达式为y=2(x十1)2十b.把(2,3)代入，得2×(2+1)2+ b=3,解得b=-15.18.解：(1)将A(1,4)代入y=-x2+bx +4,得4=-1十b十4，解得b=1.(2)点P(2,5)不在该函数的 图象上.理由如下：由(1)知二次函数的表达式为y=一x2十x十 4,当x=2时，y=-22十2十4=2≠5，.点P(2,5)不在该函数 的图象上.19.解：(1)把B(-1,0)代入y=x2+2x十m+1, 得1一2十m十1=0，解得m=2..抛物线的函数表达式为y= x2十4x十3=(x十2)2一1..抛物线的对称轴为直线x=一2 (2)由题意，得新抛物线的函数表达式为y=(x十2-n)2-1,把 (0,0)代入，得(2一n)2一1=0，解得n=3或1.20.解：(1)(1， 一4)5(2)如图所示」 (3)x1=4,x2=-2 21.解：(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=-x2+bx十c,得 1-1+b十c=0, ,b=4, 解得 ∴二次函数的表达式为y=一x c=-3, c=-3. 十4x一3.(2)，该二次函数图象的对称轴为直线x= 一2X(-=2,心点C的坐标为(2,0).·AC=c-x=1. 4 Sm=号AC·%=号×1X3=号.2.解：(1)把 A(-1,0)代入y=(x十2)2+m,得1十m=0,解得m=-1. .二次函数的表达式为y=(x十2)2-1.令x=0,得y=3,点 C的坐标为(0,3).·抛物线的对称轴为直线x=一2，点B,C 关于对称轴对称，∴点B的坐标为（一4,3）.把A(-1,0), B(-4,3)代入y=kx十b,得 +60:解得=一1： -4k+b=3, b=-1. 次函数的表达式为y=-x-1.(2)x的取值范围是x≤-4或 x≥-1.23.解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十6(k ≠0.把50,10)，(60,90)代入，得50+6=10 解得1， 60k+b=90, b=150. .y与x之间的函数表达式为y=一x十150.(2)由题意，得 =(-x+150)(x-20)=-(x-85)2十4225.-1<0,20≤x ≤90，.当x=85时，w有最大值，最大值为4225.答：当该产 品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，最大利润为 425元。24解：1由题意知A(装，0）C(0需)设抛物 线C一AD的函数表达式为y=a(x-号)，把C(0,器) 代入表达式，得=a×(一要)，解得a=专抛物线C一 A~D的函数表达式为1=青(x一)，(2②)由题意知，DE= ，当=5时，（一）-5：解得== 15 第14页( ∴B(客，5）D(号5BD=号-号=5.BD+DE=5+ 5=5(m).“抛物线E→H→F的形状与抛物线C→A→D完 88 全相同，.抛物线E→H→F可以看作是由抛物线C→A→D向 右平移营个单位长度得到的，：抛物线E~H→F的函数表达 式为=号（一要受）-号红-10.令=0周 10..OH=10m.25.解：(1)①当m=2时，二次函数的表达 式为y=-x2+2x十3=-(x-1)2+4,∴二次函数图象的顶点 坐标为(1,4).②由①，得y=一(x一1)十4，.函数图象开口向 下，对称轴为直线x=1.若n>1,则当x=n时，y有最大值3， ∴.-n2十2n+3=3,解得n1=2,n2=0(舍去)：若n十1<1，即n <0,则当x=n十1时，y有最大值3，.-(n十1)十2(n十1)十 3=3,解得3=-1，n4=1(舍去).综上所述，n的值为2或一1. (2):y=-x2十2x十m十1=-(x-1)2十m十2，.顶点坐标为 (1,十2).，函数图象上有且只有两个点到x轴的距离为2， .-2<m十2<2，解得-4<1<0.26.解：(1).C0=B0= 2,AO=1,.B(-2,0),C(2,0),A(0,1).:抛物线AB的函数 3 表达式为)=-父+a十c厂426+(=0 b=一 解得 21 c=1, c=1. “抛物线AB的函数表达式为y=一-号十1.“抛物线 AB和AC关于y轴对称，.抛物线AC的函数表达式为y= -x+x+1.2):AB=AC.:∠ABC=∠ACB.:EF∥ BC,AO⊥BC,∴.∠AFE=∠ABC,∠AEF=∠ACB,OA⊥EF ∠AFE=∠AEF..AF=AE.·点E和点F关于y轴对称. 设点E的横坐标为a,则点F的横坐标为-a,∴.EF=2a.设直 线AB的函数表达式为y=mx十n,把A(0,1),B(-2,0)代入， 得1， 。解得 m= 2’直线AB的函数表达式为y -2m十n=0 n=1. -x十1.同理可得直线AC的函数表达式为y=一号x十1 E(a,-2a+1）,F（-a,-2a+1)·GF⊥EF,DE⊥EF, 且点D,G分别在抛物线AC,AB上，D(a,一a+a+1) G(-a,-d+2a+1)DE=-a+a+1-(-a+1) =-a2+2a,GF=-a2+号a+1-(-2a+1）=-a2+2a ∴.GF+EF+DE=(-a2+2a)+2a+(-a2+2a)=-2a2+6a =-2(a-2)+号.-2<0，当a=号时，GF+Ef+DE 的长度有最大值，为号·若想加装三根安全杆的长度总和最 长，需要号m的原料。 共24页)第二章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 串产 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 新 答案 1.下列函数是二次函数的是 A.y=2x+1 B.y=(x-1)2-x2 C.y=1-x2 D 2.抛物线y=一3(x+2)2一3的顶点坐标是 A.(2,-3) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(-2,3) 3.抛物线y=x2+5x+7与x轴的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 4.二次函数y=ax2十x十c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表，则关于x的方程ax2十 x十c=0的一个根的近似值是 … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …… … 一1 -0.49 0.04 0.59 1.16 A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38 5.若二次函数y=-(x-3)2+2的图象经过A(-1,y1),B(1,y2),C(4,y3)三点，则y1,y2,y3的 大小关系是 ( A.y3>y2>y1 B.y2>y3>y1 C.y>y>y3 D.y3>y1>y2 6.一次函数y=ax十b(a≠0)与二次函数y=a.x2十bx(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能 是 味· 7.投壶（如图①）是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离 壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条 抛物线.如图②是小西在投壶时，箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投 放 出时箭头距地面的高度OA为号m,当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点号m 处.已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于x轴的线段），且OB=3m.若小西投 壶恰好投中，则BC的长为 () y/m 墨 B x/m 图① 图② A.0.2m B.0.3m C.0.35m D.0.4m 第1页（共6页） 8.若二次函数y=ax2+2ax一4(a≠0)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，且满足x1<x2, x1x2<0,则下列说法错误的是 () A.x1十x2=-2 B.抛物线开口向下 C.当x=-2时，y=-4 D.关于x的方程ax2+2ax=5的一个解小于x1 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.已知关于x的二次函数y=a.x2十6x一5有最小值，则a的值可以是 .(写出一个即可) 10.将抛物线y=(x一3)2一4向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 的函数表达式是 11.已知抛物线y=ax2一3x十c(a≠0)经过点（一2,4），则4a十c一1的值为 12.若抛物线y=x2十bx+c与x轴的两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2,P为抛物线的 顶点，则点P的坐标为 13.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为l0m/s,经过t(s)后球距离地面的高度h(m)适用公式 h=10t一5t,那么球弹起后又回到地面所花的时间为 14.已知抛物线y=ax2一4ax(a≠0)与x轴的正半轴交于点A,顶点C的坐标为(2，一4).若P为 抛物线上一动点，其横坐标为t,作PQ⊥x轴，且点Q位于一次函数y=x一4的图象上.当t< 4时，PQ的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.(本题满分5分)用配方法将二次函数y=一2x2+4x一1的表达式化为y=a(x十m)2+k的形 式，并指出该函数图象的开口方向和对称轴. 16.(本题满分5分)已知二次函数y=x2+mx+m一2，求证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有 两个交点. 17.（本题满分5分)若抛物线y=a(x十1)2十b与抛物线y=2x2的形状、开口方向都相同，且经过 点(2,3)，求a,b的值. 第2页（共6页） 18.(本题满分5分)已知二次函数y=一x2+bx+4(b为常数)的图象经过点A(1,4). (1)求b的值； (2)判断点P(2,5)是否在该函数的图象上，并说明理由， 19.（本题满分5分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2十2mx十十1经过点B(一1,0). (1)求m的值和抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移n个单位长度后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求n的值， 20.(本题满分5分)已知二次函数y=ax2十bx十c的自变量x与函数y的部分对应值如下表. … -1 0 1 2 3 2 。中” 0 -3 -4 -3 0 (1)二次函数图象的顶点坐标为 ,m的值为 (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)关于x的一元二次方程ax2十bx十c=5的解为 -4-2 0243 21.（本题满分6分)如图，二次函数y=一x2十bx十c的图象过A(1,0),B(0,一3)两点. (1)求二次函数的表达式； (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接AB,BC,求△ABC的面积. 第3页（共6页） 22.（本题满分7分)如图，二次函数y=(x十2)2+m的图象与y轴交于点C,与一次函数y=kx十 b的图象交于点A(一1,0)，B.已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称. (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当(x十2)十≥kx十b时x的取值范围. 23.(本题满分7分)批发商销售成本为20元/kg的某产品，根据物价部门规定，该产品每千克售价 不得超过90元，不得低于成本价.在销售过程中发现销售量y(kg)与售价x(元/kg)满足一次 函数关系，对应关系如下表， 售价x/(元/kg) 50 60 70 80 销售量y/kg 100 90 80 70 (1)求y与x之间的函数表达式. (2)当该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大？最大利润为多少元？ 24.(本题满分8分)西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园.立环过山车“白龙飞 天”是其经典项目之一.过山车的一部分轨道可以近似地看成两段抛物线，在平面直角坐标系 中，其图象如图所示，其中轨道抛物线C~A→D的顶点A到0的距离OA-空m,此抛物线与 y轴交于点C.OC-需m《轨道辱度念略不计) (1)求抛物线C→A→D的函数表达式. 第4页（共6页） (2)在轨道距离地面5m处有两个点B和D(点B在点D的左侧)，当过山车运动到点D处时， 平行于地面向前运动了号m至点E,又进入下坡段E至最低点H.已知轨道抛物线E, H→F的形状与抛物线C→A→D完全相同，求OH的长. O A H 25.（本题满分8分)已知二次函数y=一x2十2x十m十1. (1)当m=2时. ①求二次函数图象的顶点坐标. ②当n≤x≤n十1时，该函数的最大值为3，求n的值. (2)若二次函数图象上有且只有两个点到x轴的距离为2，求m的取值范围. 第5页（共6页） 26.（本题满分12分)项目主题：某小区更换陈旧围栏，面向全体业主征集围栏设计方案。 项目实施：家住该小区的格格和走走积极合作参与，给出的围栏设计方案的上面一部分如图① 所示； ①△ABC是等腰三角形，且AB=AC,AO⊥BC,垂足为O; ②围栏上部由两段形状相同的抛物线AB和AC组成，且抛物线AB和AC关于直线AO对称； ③CO=BO=2m,AO=1m; ④根据她们的设计方案，以BC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛 物线AB的函数表达式为y=一x2+bx+c. 问题解决： (1)求抛物线AC的函数表达式 (2)小区业主委员会进行综合评审时，对格格和走走同学的创意设计给予充分肯定，并建议在 抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图②所示的三根安全杆，其中EF∥BC,GF⊥EF, DE⊥EF.若想加装三根安全杆的长度总和最长，需要多少米的原料？ C B 0 图① 图② 第6页（共6页）