1.5三角函数的应用（教学课件）数学北师大版九年级下册

北师大版·九年级下册 1.5 三角函数的应用 第一章 直角三角形的边角关系 学 习 目 标 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力；（重点） 2.灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决.（难点） 知识回顾 如图:点A在O的北偏东 °，点B在点O的南偏西 °(西南方向). 1.解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的 个元素(至少有一个是 )后，就可求出其余的元素． 两 边 2.指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做方位角。 3.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 . 30 45 仰角 俯角 北 东 30° 45° 西 南 A O B 情境引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 泰坦尼克号 新知探究 探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题 求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和CD，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD. B A C D 东 北 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行. 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否大于 10 n mile.若AD＞ 10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险. 问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？ 55° 25° 20n mile 如何求AD的长呢？ 新知探究 过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x , 解得 ∴这船继续向东航行没有触礁的危险. ∵BC=BD-CD x 解： 根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC= 20n mile. ∴ ∴ ∴x·tan55°-x·25°=20 则在Rt△ABD中，tan∠BAD=， 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， B A C D 东 北 55° 20n mile 25° 可借助计算器求解 新知探究 1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________. km 想一想 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m） 新知探究 探究二：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题 分析：求CD，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示AC和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD. 30° 60° 50m 新知探究 30° 60° 50m x 解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 所以，该塔约有43m高. ∵AB=AC-BC 则在Rt△ACD中，tanA=， 在Rt△BCD中，tan∠DBC=， ∴AC== ∴BC= ∴=50， 解得x=25(m) 新知探究 2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. 100 新知探究 探究三：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题 做一做 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). B A D C ┌ 4m 35° 40° 分析：如图，①求调整后的楼梯会加长多少，即求 ； ②求楼梯多占多长一段地面，即求 . AB-BD AD 在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而求出AB-BD和AD. 如何求AB、AD的长呢？ 新知探究 B A D C ┌ 4m 35° 40° 解:①如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m. 在Rt△BCD中，sin∠BDC， ∴BC=BDsin40°=4sin40°， 在Rt△ABC中，sinA, ∴AB（m）， ∴AB-BD-4=0.48（m） ∴调整后的楼梯会加长约0.48m. 新知探究 ∴楼梯多占约0.61m长的一段地面. ②在Rt△BCD中，cos∠BDC, ∴CD=BDcos40°=4cos40°， 在Rt△ABC中，tanA, ∴AC， ∴AD=AC-CD=0.61(m). B A D C ┌ 4m 35° 40° 新知探究 利用三角函数解决实际问题的步骤： 知识归纳 生活问题数学化 实际问题 图形分析 （构造直角三角形） 设未知量 解答问题 （构建三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 数学问题 建立方程 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 例1 典例分析 解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x， 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°， ∴BD＝x，CD＝x. 在Rt△ACD中,∠CAD＝30°,tan∠CAD＝＝， ∴＝,∴解得 x＝18. ∵18>16， ∴点B是在暗礁区域外； (2)∵CD＝x＝9，9＜16， ∴若继续向东航行船有触礁的危险． E F 如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶AD＝4 m,高度为2 m, tanB＝，∠ADC＝135°. （1）求BC的长是多少米. （2）如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土石方？ 例2 典例分析 解：（1）如图，分别过A，D点作AE⊥BC，DF⊥BC， 则AE＝DF＝2，EF＝AD＝4， ∵ tan B＝，AE＝2，∴ BE＝10. ∵ ∠ADC＝135°，∴ ∠CDF＝45°， ∴ CF＝2，∴ BC＝BE+EF+CF＝16（m）. （2）S梯形ABCD=×10×2+4×2+×2×2＝20（m2）， V大坝＝20×100＝2 000（m3）. 巩固练习 基础巩固题 2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）． A．海里 B．海里 C．50海里 D．50海里 D 巩固练习 基础巩固题 4.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）． 3.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是 ． 1000m 巩固练习 基础巩固题 5.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m) 解：由题意得，BD＝5，∠CDB=40°，CE=2m， 在Rt△CBD中， tan∠CDB＝， ∴ BC＝ BD·tan∠CDB=5tan 40°≈4.195 5≈4.20. ∴BE＝BC+CE＝4.20+2=6.20， ∴ 在Rt△BED中，DE＝＝＝≈7.96. 答：钢缆ED的长度约为7.96 m. 巩固练习 基础巩固题 6. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AD＋BD＝AB， ∴在Rt△BCD中， 在Rt△ACD中， 750－600≈150(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km. ∴AC＋BC ＝ (km). 课堂小结 三角函数的应用 类型 与方位角、仰角俯角、倾斜角等有关的问题 1.审题建模:画示意图,抽象为直角三角形并标注边角； 2.选三角函数:根据已知 / 未知量,确定sin、cos 或tan； 步骤 3.代入计算:用特殊角值或计算器,列方程求解； 4.验证作答:核对结果合理性,规范写答案(含单位). 作业布置 1.必做题：习题1.6第1-3题。 2.探究性作业：习题1.6第4题。 感谢聆听! Lavf56.15.102 $