1.6 利用三角函数测高-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

6 利用三 【基础过关 ·逐点击破 知识点1测量倾斜角 1.(教材P22“活动一”变式)如图，在量角器的 圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易的测 倾仪.当量角器的0刻度线AB对准楼顶时， 铅垂线对应的读数是50°，此时观察楼顶的 仰角度数是 A.40 B.50° C.80° D.130° 1铅锤 知识点2测量底部可以到达的物体的高度 2.(教材P22“活动二”变式)如图，某数学实践 小组测量操场上旗杆AB的高度，操作如下： ①在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度 CD为a; ②测得仰角∠ACE=a; ③量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b. 旗杆AB的高度可表示为 A.a+btan a B.a+bsin a C.atb tan a D.at-b sin a 3.测量计算是日常生活中常见的问题，在现实 生活中，当物体的高度不方便测量时，我们 可以借助所学的知识，利用直角三角形边角 关系得到我们需要的数据.如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB,小雅站在距离楼底 端点C26m处的点D,测得此时旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部点B的仰角为 45°.（点A,B,C在同一直线上，且，点A,B, C,D处于同一平面内)（参考数据：sin50°≈ 0.8,tan50°≈1.2) 13第一章直角三角形的边角关系 角函数测高 (1)求楼高BC; (2)求旗杆的高度AB.(结果精确到1m) 458 50° 知识点3测量底部不可以到达的物体的高度 4.(2025·甘肃中考)如图①，位于嘉峪关的长 城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长 城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年 (1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖 之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关 城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御 体系.随着岁月的变迁和自然的风化，长城 第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一 墩的现存高度.某校同学们开展了“测量长 城第一墩高度”的综合实践活动.如图②是 他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点 A为最高点，点B,F,D是地面同一直线上 的三个点（点D,F都在保护栅栏外），在点 D,F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°， ∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m(测角 仪的高度)，DF=CE=5.5m,求长城第一墩 的高度AB(结果精确到0.1m).（参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈ 0.40,sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96， tan16.7°≈0.30) G 图① 图② 口能力提升 ◆，·整合运用 5.(2025·榆林榆阳区二模)贞观纪念碑是西 安曲江大唐不夜城的地标性雕塑，由李世民 骑马像及周围的附属雕塑组成.小莫去大唐 不夜城游玩时，想用学过的知识测量贞观纪 念碑的高度.小莫在地面上的点C处测得纪 念碑顶端A的仰角∠ACB为61°，然后，小 莫半蹲在点C处，眼睛位于点D处时，测得 纪念碑顶端A的仰角∠ADE为59°，小莫的 眼睛到地面的高度CD=1.4m,AB⊥BC, DC⊥BC,图中所有点均在同一平面内，求贞 观纪念碑的高度AB.(参考数据：sin61°≈ 0.87,cos61°≈0.48，tan61°≈1.80，sin59°≈ 0.86,cos59°≈0.52，tan59°≈1.66) 611 6.(2025·威海中考)小明同学计划测量小河 对面一幢大楼的高度AB.测量方案如图所 示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点 B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角 ∠1的度数.然后在点C正下方点D处，测 得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1= 45°，∠2=52°，∠3=65°，CD=10m,求大楼 的高度AB.(结果精确到1m,参考数据： sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3， sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1) R 3 E A 数学Ⅱ九年级下册(BS)14∠ABE=14°，BE=l5 n mile,.AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE +DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)= 142.5(min),从14：30经过142.5min是16：52：30，.不改变航 行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,.∴.BC=CD·tan∠BDC=26m.答： 楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,.AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC BC=31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解： 由题意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1,7m,设EG=xm. .CE=DF=5.5m,..CG=CE十EG=(x十5.5)m.在 Rt△ACG中，∠ACG=16.7°，∴.AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+ 5.5)m.在Rt△AEG中，∠AEG=22°，.∴.AG=EG·tan22°≈ 0.4xm..0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5..AG=0.4x= 6.6m..AB=AG十BG=6.6十1.7=8.3(m).答：长城第一墩 的高度AB约为8.3m. 能力提升 5.解：延长DE交AB于点F,则四边形BCDF是矩形，∴.DF= CB,∠AFD=90°，BF=CD=1.4m.在Rt△ABC中， tan∠ACB=B是，∴.BC=AB an61Ag.在Rt△AFD中 m∠ADF=∴DF=5=A≈A品 tan59° 1.66 六背=6站兰，A=18m答：贞观纪念晚的商度A0约 1.66 为18m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥ AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD=10m,CG =DH.:∠1=45°，.CG=AG.设CG=AG=DH=xm,.在 Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈1.3xm.在 Rt△BDH中，∠3=65°，.BH=DH·tan65°≈2.lxm. .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5.∴.AB= BG+AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度AB约为 29m. 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. :在R△ACE中，am∠CAE-是.：AE=m正 CE 13.20 an23.g≈30.0(m).在Rt△ADE中，cos∠DAE=号， os∠DAE=cos36.g≈37.5(m).答：AD的长约为 ..AD-- AE 30.0 37.5m.5.100√56.解：连接BD交EF于点G,交PQ于点 H.由题意，得AB=CD=EG=HP=1,6m,EF⊥BG,QP⊥ BH,AC=BD=4 m,CE=DG=21 m,PQ=64 m,..QH=QP -PH=64-1.6=62.4(m).在Rt△BQH中，∠QBH=21.3°， 第3页( BH=QH,≈62,4=160(m).DH=BH-BD=160 tan21.3≈0.39 4=156(m).:EF⊥BG,QP⊥BH,.∠FGD=∠QHD=90°. :∠FG=∠QDH,△FGD△QHD.-品脚 21 =i6FG=8.4m.EF=FG+EG=8.4+1.6=10(m), 答：玄类法师铜像EF的高度约为10m.7.10038.200Y3 3 3 9.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°.在 Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,AQ=AB· sin∠ABQ=275m,∠QAB=30.:四边形ABCD是矩形， 10 .AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=9O. ∴.∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°.∴.AD=BC= CE tan∠CBE =8yEm.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,:AP=AD.cos /PAD=3 m.PQ=AP+AQ= 5 E≈6.1(m).(2)在Rt△BCE中，BE CE 2 sin∠CBE=3,2m, 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2,7m.,该充电站有 20个停车位，∴.PN=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边之号怎号 19合5 2 考点整合 1B2.B3.D4.-125.56.15+3(2)60 5 2.135°8259. 7 5 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD ⊥C,DE=DC在R△ACD中，mC-8是=号CD= ACX16.DE-DC-6.CE-DE+DC-12. BE=AE=10,.BC=BE+CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE一DE=√I02-6 =8.又BD=BE+DE=10+6=16,∴mB-部-是=2 11.18012.1013.解：(1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF= 30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°..∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)：∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM 0os∠ACM-8器.AM=AC·sn∠ACM=80× =AM sin30°=800X2=400(m),CM=AC·cos∠ACM=800× 共24页)