1.3 三角函数的计算&1.4 解直角三角形-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

3 三角 【基础过关 ·逐点击破 知识点1利用计算器求任意锐角的三角函数值 1.用计算器求cos15°的值，正确的按键顺序是 ( A.cos□⑤目 B.SHIFT cos□▣ C.SHFT□5月D.15cos目 2.用计算器求下列各式的值：（结果精确到 0.0001) (1)c0s12°30'； (2)tan15°·cos28°-tan43°； (3)sin81°32'17"+c0s38°43'47". 知识点2利用计算器求锐角的度数 3.若tanA=0.1890,利用科学计算器计算 ∠A的度数，下列按键顺序正确的是( A.SHIFT tan0·1890= B.SHF阿0·189otan= C.o·☐189 0tan SHI= D.tan0·☐1890SHI= 4.在△ABC中，∠C=90°，BC=5,AB=17,则 ∠A的度数约为 A.17.6° B.176 C.17°161 D.17.16° 5.已知三角函数值，用计算器求锐角A.（角度 精确到1") (1)若sinA=0.3035,则∠A≈ (2)若cosA=0.1078,则∠A≈ (3)若tanA=7.5031,则∠A≈ 7第一章直角三角形的边角关系 函数的计算 知识点3锐角三角函数的实际应用 6.(教材P15习题T5变式)某商场在一楼与二 楼之间安装了一部长25m的手扶电梯，一 楼与二楼之间的高度为10m,则手扶电梯的 倾斜角的度数约为 .(结果精确到1) 能力提升 ◆，、整合运用 7.若tana 号，则锐角。的度数所在范围是 ( A.0°<a<30° B.45°<a<60° C.30°<a<459 D.60°<a<90° 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC= 3√6，则AC的长约为 ·(结果精确到 0.01) 9.(教材P15习题T4变式)如图，甲、乙两建筑 物相距120m,甲建筑物高50m,乙建筑物 高75m,求俯角a和仰角3的度数.（结果精 确到0.1°) 4 解直角三角形 口基础过关 ·逐点击破 6.(教材P17习题T2变式)在Rt△ABC中， 知识点1已知两边解直角三角形 ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C 1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1,AB= 90°.根据下列条件，求这个三角形的其他元素. 2,则下列结论正确的是 ( (1)已知a=8,∠B=60°； A.∠B=30° B.BC=1 (2)已知∠B=45°，b=√6. C.∠A=30° D.∠A=459 2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4.欲 求∠A的度数，最适宜的做法是 ( A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B 求出 3.(教材P16例1变式)在△ABC中，已知∠C= 知识点3解直角三角形的简单应用 90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其 7.(2025·西安新城区期末)如图，某停车场入 中a=√6，c=2√2，解这个直角三角形. 口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到 A'B'的位置.已知AO=4m,栏杆的旋转角 ∠AOA'=40°，则旋转后点A的对应点A'到 AB的距离A'H为 m.（用含40° 角的三角函数表示) OB B h777777277717777 D (第7题图) (第8题图) 8.(教材P18习题T3变式)(2025·眉山中考) 知识点2已知一边和一锐角或锐角的三角函数 人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若 值解直角三角形 AB,AC的长都为2m,当α=65时，人字梯 4.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°， 顶端离地面的高度AD约为 m.（结 BC=3,则AC的长为 果精确到0.1m,参考数据：sin65°≈0.91， A.3sin40° B.3sin 50 cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) C.3tan 40 D.3tan50° !易错点对三角形的形状考虑不全而致错 5.在△ABC中，∠C=90°.若BC=12,sinA= 4 9.在△ABC中，tanB=3,AB=15,AC=13, 号，则AB的长为 则BC的长度为 数学Ⅱ九年级下册(BS)8 【能力提升 ◆♪》整合运用 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A= 30°，AC=6,点D在AB上，连接CD.若 tam∠BCD=号，则BD的长为 () A.2 B.3 C.4 D.2√3 B' (第10题图) (第11题图) 11.外翻窗及其侧面示意图如图所示，当外翻 窗从下面打开时，窗的一边沿AB绕点A旋 转到AB.已知AB=1.2m,旋转角∠BAB 最大为15°.当∠BAB最大时，则点B到AB 的距离约为 m.（结果精确到0.01m, 参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27) 12.（2025·榆林横山区期末)如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90,sinB=5, 2 CD⊥AB于点D.若BD=2√3，则AD的 长是 13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， tanB=cos∠DAC. (1)求证：AC=BD; 9第一章直角三角形的边角关系 (2)若smC-是5C=12,求AD的长 『思维拓展 ,◆强化素养 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边 BC上-点，AB=5,BD=1,tanB=3 (1)求AD的长； (2)求sina的值. D参考 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切与坡度 基础过关 1.C223是 4.解：(1)：AB=AC,AD是BC的中线，BC =9,.ADLBC,.∠BAD=∠CAD,CD=BD=号BC=4.5. '.tan C=AD=AD-20 CD 4.5 9 AD=10.(2)∠BAD=∠CAD, aam∠AAD=am∠CaD-0-铝-易 5.解：甲斜坡 弥中，tanA= BC=100-60= A 60 3乙斜坡中，tanD=EE DE 帐 753 502 .tanA<tanD,.乙斜坡更陡峭.6.A7.C8.A 能力提升 9.B10.1. 2 12.解：AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC =90,在R△ABD中，：∠B=30,·AD=号AB=3.在 地 R△ACD中，amC=80=3,CD=号AD=1.AC= √AD+CD=√3+1下=√0.13.解：过点B作BF⊥AD 于点F,易证四边形BFEC是矩形，则BF=CE=4m,EF=BC =4.5m,∠AFB=∠CED=90°.在Rt△ABF中，AF= AB一BF=3m在R△CDE中，i是-月 CE=4 m, .DE=4√3m.AD=AF+EF+DE=(7.5十43)m.答：坝 底宽AD为(7.5+4√3)m. 思维拓展 14.解：(1)∠C=90°，a=30°，.AB=2BC..AC= BC..co 305.(2)tan a BC BC 3 哈 资 第2课时正弦与余弦 基础过关 、3 1.D2.B3. 4.2 5.解：(1)∠B=90°，AB=2, cos∠BAC= 3,AC= cos∠BAC=6.(2):AC⊥CD, AB ∠ACD=90°.AC=6,CD=8,AD=√/AC+CD=10. mD需品-台6(1)特大(2减小陕7B 8.解：在Rt△BCD中，CD=3,BD=5,.BC=√BD-CD =4.AC=AD+CD=8,..AB=VACFBC=4V5..sin A ΓAB 3√34 34 第1页( 答案 能力提升 10.C11.C12.1013.解：(1)AD⊥BC,∠ADB= ∠ADC=90°.：在Rt△ABD中，AB=10,AD=6,.BD= √AB-AD=8.在R△ACD中，'tanC=1,CD=AD= tan C 6..BC=BD+CD=14.(2)AE是BC边上的中线，.CE= 合BC=7.DE=CE-CD=1.在R△ADE中，AE √AD+DE=V37.∴sin∠DAE=DE=Y37 AE 37 思维拓展 14解：1)sinA=名，cosB=号.(2)ianA=合amB=合 (3)sinA=cosB,anA·1anB=1.(400号@7 230°，45°，60°角的三角函数值 基础过关 1.A2.B3.解：)原式=5-5×5=9-1.(2原式= 23 3 1=2+1.(3)原式=( 2 2 2×2-12-1 2 3 2 2 3 名合+号-94C8025(2能角6A7.解。 :在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=4m,∴.AD=BD· tan∠ABD=4Fm,在R△ACD中，∠C=45,AC=AD sin C =4√6m.答：调整后的楼梯AC的长为4√6m. 能力提升 8.C9.210.(150-76/3)11.解：在Rt△ACD中，∠C =90,AC=8AD-16ms∠CAD=AS-9∠CAD =30.AD平分∠CAB,∴.∠CAB=2∠CAD=60°.∴.∠B= 90°-∠CAB=30°，BC=AC·tan∠CAB=8√3.12.解：由题 意，得点A,F,C在同一条直线上.在Rt△ABC中，BC=2,∠A =30AC=S=2反EF=A(C=2在R△EF中， ∠E=45°，.CF=EF·sinE=√6..AF=AC-CF=2√3 √6. 思维拓展 13.解：(1)由题意，得∠C=90°，∠D=15°，AC=x,CD=(2+ ③x∴an15=anDS=2-原.(2)延长CB至点D,使 BD=AB,连接AD.易得∠D=22.5°.设AC=x,则BC=x AB=√AC+BC=√2x..BD=AB=√2x..CD=BC+ BD=(1+)z..ta 22.5"-tan D--/-1. 共24页) 3三角函数的计算 基础过关 1.A2.解：(1)原式≈0.9763.(2)原式≈-0.6959.(3)原式 ≈1.7692.3.A4.B5.(1)17°40'5”(2)83°4841 (3)8224306.2335′ 能力提升 7.C8.8.169.解：由题意，得BD=120m,AB=50m,CD= 75m.易得AE=BD=120m,DE=AB=50m,∴.CE=CD DE=25m在R△ADE中，ama==品=高a 5 2.6在R△ACE中，an-是-高=名1.8的 角a约为22.6°，仰角B约为11.8°， 4解直角三角形 基础过关 1.A2.C3.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=√6，c=2√2， b=P-a=厄.sinB=b=E=1 c22=交.∠B=30. .∠A=90°-∠B=60°.4.D5.156.解：(1)∠B=60°， ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.a=8,.c=2a=16..b =c·sin60°=16×5=8V5.(2):∠C=90°，∠B=45∠A =45°.∠A=∠B.而b=√6，∴.a=b=√6.根据勾股定理，得c2 =a2+b2,即c=23.7.4sin40°8.1.89.4或14 能力提升 10.A11.0.3112.6√513.(1)证明：：AD是BC边上的 高，∴.AD⊥BC.∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中， mB=部在△ACD中，as∠DAC=是：mB= as∠DAC部-是AC=BD(2)解：在R△ACD中， S血C-是-是设AD=12,则AC=BD=13,在R1△ACD 中，由勾股定理，得CD=√AC-AD=5x.:BD十CD=BC =12,13x+5x=12,解得x=号.AD=12X号=8. 思维拓展 14.解，1：∠C=90,amB=瓷=是.∴设AC=3a,则BC =4x.在R△ABC中，：AC2+BC=AB,∴.(3x)+(4x)2= 52,解得x1=-1(舍去)，x2=1,∴.AC=3,BC=4.BD=1, ∴.CD=BC-BD=3.在Rt△ACD中，AD=√CD+AC= 32.(2)过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=∠BED=90. 在R△ABC中，AC=3,AB=5,mB=S=号在 R△BDE中，BD=1,DE=BD·sB=子，在R△ADE 中，AD=3Esma-器-得 第2页( 专题一 构造直角三角形解直角三角形通性通法】 1.B2.43.D4.3十355.33+3或33-36.解： (1)过点A作AE⊥BC于点E.:cosC=,∠C=45 2 ∴.∠CAE=90°-∠C=45°=∠C.∴.AE=CE.在Rt△ACE中， CE=AC·cosC=1,.AE=1.在Rt△ABE中，tanB=5= 3BE=3AE=3.·BC=BE+CE=4.(2):AD是△ABC 的中线CD=BC=2.DE=CD-CE=1.:AELBC, DE=AE-=1,·∠ADC=∠DAE=45.∴coS∠ADC=g 2 7.解：延长AD,BC,交于点E.在Rt△ABE中，：tanA=BE AB 号，AB=6,BE=&.AE=VAB+BE=10,CE=BE BC=4.∴c0sE==手，在R△CDE中，CE=4,DE CEsE=普AD=AE-DE=8B 5三角函数的应用 基础过关 1.A2.13.43.B4.解：由题意，得BD∥AE∥OC, ∴.∠BCO=∠DBC=36.9°，∠AC0=∠EAC=30°.在 R△A0C中，AC=24m,∠AC0=30,0A=AC=12m, OC=AC·cos∠ACO=12√3m.在Rt△BCO中，OB=OC· tan∠BCO≈9√5m..AB=OB-OA=9√5-12≈3.6(m). 答：无人机从点A到点B的上升高度AB约为3.6m.5.A 6.15√3 能力提升 7.解：过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥AC于点H AB,DE均与水平线FC垂直，∴.DE∥AC.∠DBH= ∠BDE=72.5°..DH⊥AC,∴.∠DHI=90°.在Rt△DBH中， BD=2m,m72.5-器os72.5-器则DH=BD sin72.5°≈22×0.95=20.9(m).BH=BD·cos72.5°≈22× 0.30=6.6(m).:过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥ AC于点H,DE∥AC,∴.∠EDH=∠DHI=∠HIE=90..四 边形EDHI是矩形..EI=HD=20.9m,IH=DE=1.7m. :∠AEI=45,∠AIE=90°..∠EAI=45°..AI=EI= 20.9m.∴.AB=A1+IH-BH=20.9+1.7-6.6=16(m).答： 信号杆的高AB约为16m 思维拓展 8.解：(1)过点B作BE⊥AC于点E.设BE=x n mile,由题意， 得∠EBC=53,∠EBD=45,CD=10X号=5(n mile).∠C =90°-∠EBC=37°，DE=x n mile...EC=-DE+CD=(x+ 5)mile,.在Rt△BCE中，EC=,B ac≈产a7=专x(amie)， x “专x=x十5，解得x=15.∴BE=15 n mile..渔船在航行过 程中到灯塔B的最短距离为15 n mile.(2)在Rt△ABE中， 共24页)