第十章 概率 单元分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章　概率 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是(　　) A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,事件M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为(　　) A.M∪N B.M∩N C. D. 3.抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ai=“向上的点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,B=“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是(　　) A.与B互斥 B.A2+B=Ω C.A3与相互独立 D.A4∩B=⌀ 4.(2025河南平顶山高一期末)现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加某博览会的服务工作,从这6名志愿者中随机抽取2人安排在博览会的一号展区工作,则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为(　　) A. B. C. D. 5.为加强学生身体健康,某校对学生进行了体能测试.已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6,现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率:先由计算器产生0~9范围内的整数随机数,指定0,1,2,3表示没有及格,4,5,6,7,8,9表示及格,再以每3个随机数为一组,代表3次立定跳远的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 759　421　113　215　345　257　704　066　186　203 037　624　616　045　601　366　959　742　710　428 根据随机模拟试验估计,甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为(　　) A. B. C. D. 6.已知在一个随机试验中有随机事件A,B,表示事件B的对立事件,P(A)=0.4,P(B)=0.6,则下面结论正确的是(　　) A.事件A与B一定是对立事件 B.P(A∪B)=1 C.P(AB)=0.24 D.若事件A,B相互独立,则P(A)=0.16 7.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为.只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第三关的概率为(　　) A. B. C. D. 8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为(　　) A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B) C.P(A)>P(B) D.视m,n的大小而定 二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.从1,2,3,…,9中任取三个不同的数,则在下述事件中,是互斥但不是对立事件的有(　　) A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数” C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数” 10.(2025河南濮阳高一期末)一个不透明袋中装有若干大小、质地均相同的球,颜色有红、黄两种,且有部分球带标记,若从中随机摸出一个球,摸到红球的概率为0.6,摸到带标记的球的概率为0.2,且摸到红球与摸到带标记的球相互独立.现从袋中随机摸取一个球,设事件A=“摸到红球”,事件B=“摸到带标记的球”,则下列结论正确的是(　　) A.事件A与事件B互斥 B.摸到的球是红色但不带标记的概率为0.48 C.P(A∪B)=0.8 D.若连续摸球两次(有放回),则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为0.102 4 11.(2025浙江宁波高一期末)某区四所高中各自组建了排球队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛),最后按各队的积分排列名次,积分规则为每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,且每场比赛结果相互独立,则在比赛结束时(　　) A.甲队积分为9分的概率为 B.不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C.甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D.甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 三、填空题 12.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有　　　　　条鱼.  13.设A,B是一个随机试验中的两个事件,记分别为事件A,B的对立事件,若P(A)=0.6,P()=0.3,P(AB)=0.5,则P(AB)=　　　　.  14.某自助银行有A,B,C,D四台ATM(自助取款机),在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为. (1)若某客户只能使用四台ATM中的A或B,则该客户需要等待的概率为　　　　　;  (2)某客户使用ATM取款时,恰好有两台ATM被占用的概率为　　　　　.  四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球.甲盒中是3个黑色小球(记为A1,A2,A3)和1个红色小球(记为B),乙盒中是2个黑色小球(记为a1,a2)和2个红色小球(记为b1,b2). (1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,共有多少种不同的结果?请列出所有的结果. (2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球,求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率. 16.已知甲投篮命中的概率为0.6,乙投篮不中的概率为0.3,乙、丙两人投篮都命中的概率为0.35,假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率; (2)甲、乙、丙各投篮一次,求甲和乙命中,丙不中的概率; (3)甲、乙、丙各投篮一次,求恰有一人命中的概率. 17.某地区为了实现产业的转型发展,利用当地旅游资源丰富多样的特点,决定大力发展旅游产业,一方面对现有旅游资源进行升级改造,另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门,对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查,如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中,随机抽取的100位游客的满意度调查表. 满意度 老年人 中年人 青年人 报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游 满意 12 1 18 4 15 6 一般 2 1 6 4 4 12 不满意 1 1 6 2 3 2 (1)由表中的数据分析,老年人、中年人和青年人这三种人群中,哪一类人群更倾向于选择报团游? (2)为了提高服务水平,该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中,随机抽取2人征集改造建议,求这2人中有老年人的概率. (3)若你朋友要到该地区旅游,根据表中的数据,你会建议他选择哪种旅游项目? 18.(2025北京西城高一期末)根据某地区制定的《学生体质健康标准》,高一男生和女生50米跑单项等级如下(单位:秒): 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学,将其50米跑测试成绩整理如下: 男生:7.0　7.2　7.2　7.3　7.4　7.4　7.5　7.5 7.9　8.3　8.6　9.6 女生:7.4　7.6　7.6　7.8　7.9　8.0　8.3　8.4 8.7　9.2　9.4　10.4 假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立. (1)分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率; (2)从该校高一男生中随机抽取1人,高一女生中随机抽取1人,求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率; (3)从该校高一女生中随机抽取2人,记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件A,记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否相互独立.(结论不要求证明) 19.一个不透明的袋中有3个红球,1个白球,球除了颜色外大小、质地均一致.设计了两个摸球游戏,其规则如表所示. 游戏序号 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 获胜规则 若摸出的2球颜色相同,则甲获胜;若摸出的2球颜色不同,则乙获胜 (1)写出游戏1与游戏2的样本空间;求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率,并说明哪个游戏是公平的; (2)甲与乙两人玩游戏2,约定每局胜利的人得2分,否则得0分,先得到4分的人获得比赛胜利,则游戏结束.每局游戏结果互不影响,求甲获得比赛胜利的概率. 参考答案 1.C　由于必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故A不正确. 频率的数值是通过试验完成的,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,故B,D不正确. 频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,故C正确. 2.D　因为甲、乙两个元件串联,线路没有故障,即甲、乙都没有故障,即事件同时发生,即事件发生.故选D. 3.D　对于A,={2,3,4,5,6},B={1,3,5},与B不互斥,A错误; 对于B,A2+B={2}∪{1,3,5}={1,2,3,5}≠Ω,B错误; 对于C,A3与不能同时发生,是互斥事件,不是相互独立事件,C错误; 对于D,A4={4},B={1,3,5},A4∩B=⌀,D正确. 故选D. 4.D　4名男志愿者用1,2,3,4表示,2名女志愿者用a,b表示,从这6名志愿者中随机抽取2人的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共15个,其中抽取的2名志愿者中有一男一女的样本点有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),共有8个,所以抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为.故选D. 5.D　依题意,在每组随机数中,至少有2个数字在4,5,6,7,8,9中,即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次,经统计,20组中一共有13组符合要求,有759,345,257,704,066,186,624,616,045,366,959,742,428,故概率为.故选D. 6.D　对于AB,在一个不透明的盒子中有标号为1,2,3,4,5的5个小球,从中任取1球,记事件A=“从中取出球的标号为1,2”,事件B=“从中取出球的标号为1,2,3”,则P(A)=0.4,P(B)=0.6,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件,A错误; 由上例可知P(A∪B)=P(B)=0.6,B错误; 对于C,P(AB)=P(A)P(B)仅在事件A,B相互独立时才成立,而不知道事件A,B的关系,故不确定P(AB)的值,C错误. 对于D,若事件A,B相互独立,则事件A,也相互独立,所以P(A)=P(A)·P()=P(A)·(1-P(B))=0.4×(1-0.6)=0.16,D正确. 故选D. 7.C　设Ai=“第i次通过第一关”,Bi=“第i次通过第二关”,其中i=1,2. 由题意知选手能进入第三关的事件可表示为A1B1+A2B1+A1B2+A2B2, 所以选手能进入第三关的概率为P(A1B1+A2B1+A1B2+A2B2)=. 故选C. 8.A　设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,P(A)=P(A1)+P(A2)=. 设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”, B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”, 则B1,B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=. 由于m≠n,故2mn<m2+n2.故P(A)<P(B).故选A. 9.AD　从1~9中任取三个不同的数,按这三个数的奇偶性分类,有四种情况: (1)三个均为奇数;(2)两个奇数一个偶数;(3)一个奇数两个偶数;(4)三个均为偶数. 所以选项A,D是互斥但不是对立事件,选项C是对立事件,选项B不是互斥事件. 10.BD　根据题意事件A与事件B相互独立,P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.2=0.12,事件A与事件B不互斥,A错误; P(A)=P(A)P()=0.6×(1-0.2)=0.48,B正确; P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.2-0.12=0.68,C错误; 摸一次摸到的球是黄色且不带标记的事件为,P()=P()P()=0.4×0.8=0.32,所以两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率P=0.32×0.32=0.102 4,D正确. 故选BD. 11.ACD　对于选项A,若甲队积分为9分,则甲胜乙、丙、丁,所以甲队积分为9分的概率为,故A正确; 对于选项B,四支球队共6场比赛,例如甲胜乙、丙、丁,而乙、丙、丁之间平,则甲得9分,乙、丙、丁各得2分,故B错误; 对于选项C,每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,分为甲队胜2场且甲胜乙队,甲队胜2场且甲败给乙队或甲队胜2场且甲与乙队平,则甲队胜2场且乙队胜2场的概率为2××2××,故C正确; 对于选项D,甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分,三队中选一队与甲比赛,甲输,例如丙赢甲,若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平,则甲只得4分,这时,丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输,否则丙的分数不小于4分,不符合题意,在丙输的情况下,乙、丁各有3分,它们之间的比赛无论什么情况,乙、丁中有一人得分不小于4分,不符合题意; 若甲与乙、丁的两场比赛全赢(概率是)时,甲得6分,其他3队分数最高为5分,这时丙乙,丙丁两场比赛中丙不能赢,否则丙的分数不小于6分,只有全平或全输或一平一输, ①若丙一平一输,概率是2,如平乙,输丁,则乙丁比赛时,丁不能赢,概率是; ②若丙两场均平,概率是,乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意; ③若两场丙都输,概率是,乙丁这场比赛只能平,概率是; 综上,所求概率为3××[2×]=,D正确. 故选ACD. 12.750　设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为, 由题意得×50=2,∴n=750. 13.0.4　根据题意,设P(AB)=x, P()=0.3,则P(B)=1-P()=0.7, 由于P(A+B)=P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB), 则有0.5+x=0.6+0.7-x,解得x=0.4, 故P(AB)=0.4. 14.(1)　(2)　(1)该客户需要等待意味着A与B同时被占用, 故所求概率为P1=. (2)依题意,该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为 P2=. 15.解(1)共16种不同结果,样本空间Ω={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2,Bb1,Bb2}. (2)记A=“取出的2个小球中至少有一个是黑色”,则A={A1a1,A1a2,A1b1,A1b2,A2a1,A2a2,A2b1,A2b2,A3a1,A3a2,A3b1,A3b2,Ba1,Ba2}, 故P(A)=. 16.解(1)设A=“甲投篮命中”,B=“乙投篮命中”,C=“丙投篮命中”, 由题意可知,P(A)=0.6,P()=0.3,P(BC)=P(B)P(C)=0.35, 则P(B)=1-P()=0.7,P(C)==0.5, 所以丙投篮命中的概率为0.5. (2)设D=“甲和乙命中,丙不中”, 则P(D)=P(AB)=P(A)P(B)P()=0.6×0.7×0.5=0.21, 所以甲和乙命中,丙不中的概率为0.21. (3)设E=“甲、乙、丙各投篮一次,恰有一人命中”, 则P(E)=P(AB C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C) =0.6×0.3×0.5+0.4×0.7×0.5+0.4×0.3×0.5 =0.29. 17.解(1)由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为P1=,P2=,P3=, ∵P1>P2>P3, ∴老年人更倾向于选择报团游. (2)由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中,老年人有1人,记为a,中年人有2人,记为b,c,青年人有2人,记为d,e, 从中随机选取2人,样本点共10个,分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e), 其中这2人中有老年人包含的样本点有4个,分别为 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e), ∴这2人中有老年人的概率为P=. (3)根据表中的数据,得到 报团游的满意率为P4=, 自助游的满意率为P5=, ∵P4>P5,∴建议他选择报团游. 18.解(1)由给定数据得,12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人,高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人,所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为. (2)该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为D,高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为E,抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为C,则C=DE. 由(1)知,P(D)=,P(E)=,显然事件D,E相互独立,因此P(C)=P(DE)+P(E)=P(D)P()+P()P(E)=,所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为. (3)依题意,P(A)=1-(1-)×(1-)=,P(B)=1-,P(AB)=,因此P(AB)≠P(A)P(B),所以A与B不相互独立. 19.解(1)记三个红球为1,2,3号,记白球为4号,用(x,y)表示两次摸球的情况,其中x表示第1次摸出的球的编号,y表示第2次摸出的球的编号.记游戏1与游戏2的样本空间分别为Ω1,Ω2, Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}, 记A1=“在游戏1中甲获胜”,记A2=“在游戏2中甲获胜”,则A1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}, A2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)}, P(A1)=,P(A2)=, 故游戏1是公平的. (2)记Bi=“甲获得第i局游戏胜利”,i=1,2,3,记W=“甲获得比赛胜利”, 由(1)得,P(Bi)=,P()=,i=1,2,3, P(W)=P(B1B2∪B2B3∪B1B3)=P(B1B2)+P(B2B3)+P(B1B3)=P(B1)P(B2)+P()P(B2)·P(B3)+P(B1)P()P(B3)=. 13 学科网（北京）股份有限公司 $